观念
平坦函子可视为平坦模的推广.
定义
通过米田扩张
设 $\mathcal D$ 为意象. 对于函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 若其米田扩张
$$
F\otimes (-)\colon \widehat {\mathcal C}\to\mathcal D
$$
为左正合函子, 即保持有限极限, 则称 $F$ 为平坦函子.
通过元素范畴
函子 $F\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 平坦当且仅当 $F$ 的元素范畴
$$
\int_{\mathcal C} F
$$
为余滤范畴. 展开来讲, 这等同于如下条件.
- 存在 $c\in \mathcal C$, 使得 $F(c)$ 至少存在一个元素;
- 对任意 $c,c'\in\mathcal C$, 以及 $x\in F(c)$, $x'\in F(c')$, 存在 $d\in\mathcal C$, $y\in F(d)$ 以及态射 $p\colon d\to c,p'\colon d\to c'$, 使得 $F(p)(y) = x$, $F(p')(y) = x'$;
- … (表达 $\int_{\mathcal C} F$ 的两个平行态射有余锥).
对于一般的 $1$-意象 $\mathcal D$, 也可在 $\mathcal D$ 的内语言中理解上述条件, 得到平坦函子 $\mathcal C\to\mathcal D$ 的定义.
性质
预层意象的点
平坦函子 $F\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 等同于预层意象 $\widehat {\mathcal C}$ 的点.
例
单纯形范畴
单纯形范畴 $\Delta$ 到意象 $\mathcal C$ 的平坦函子等同于 $\mathcal C$ 中的区间.
因此, 单纯集的意象是区间的分类意象.
群作用
设 $G$ 是 $\mathsf{Set}$ 中的群. 我们知道 $G$ 在范畴 $\mathcal C$ 中某个对象上的作用等同于函子 $F\colon \mathrm{B}G\to\mathcal C$. 函子 $F$ 为平坦函子这一条件恰好可理解为该作用是 $G$-主丛.
因此, $G$-集合的意象 $G\mathsf{Set} = \mathsf{Psh}(\mathbf{B}G)$ 是 $G$-主丛的分类意象.
相关资料
见盲人摸象 A.5 节.