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等价关系 [等价关系]

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局部化 (环) [局部化]

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观念

环 (结合代数) 的局部化是使其中某些元素成为可逆元的万有的方法.

在几何侧, 局部化将环的谱变成原来的一个子空间.

另见局部化 (范畴论), Bousfield 局部化 (稳定同伦论).

定义

设 $A$ 为环, $S\subset A$ 为子集. 定义 $A$ 关于 $S$ 的局部化 $A\to A[S^{-1}]$ (也记作 $S^{-1}A$) 为满足如下条件的环同态:

对任意环同态 $\varphi\colon A \to B$, 若 $\varphi(S)\subset B^\times$, 即 $\varphi$ 将 $S$ 的元素映射到 $B$ 的可逆元, 则 $\varphi$ 唯一地穿过 $A\to A[S^{-1}]$.

素理想

设 $\mathfrak p\subset A$ 为素理想. 定义 $A$ 在 $\mathfrak p$ 处的局部化为 $A$ 关于 $\mathfrak p$ 之外的元素的局部化: $$ A_{\mathfrak p} := A [(A\setminus\mathfrak p)^{-1}]. $$

注意此处的记号稍有混淆.

性质

分式计算

当子集 $S$ 是乘性 (multiplicative) 子集, 即关于 $A$ 中的乘法封闭时, $A[S^{-1}]$ 的元素有如下具体表达式: $$ A[S^{-1}] = \Big\{ \frac{a}{s} \Bigm| a\in A, s\in S \Big\} / \sim, $$ 其中等价关系 $\sim$ 为 $$ \frac{a}{s}\sim \frac{a'}{s'}\Leftrightarrow \exists t\in S\, t(as'-a's) = 0. $$

素理想

$A[S^{-1}]$ 的素理想等同于 $A$ 中与 $S$ 不相交的素理想.

例如, $A_{\mathfrak p}$ 的素理想等同于 $A$ 中包含于 $\mathfrak p$ 的素理想. (而 $A/\mathfrak p$ 的素理想等同于 $A$ 中包含 $\mathfrak p$ 的素理想.)

正合性

命题. 对于交换环 $A$ 的乘性子集 $S$, 局部化函子 $S^{-1}(-) = S^{-1}A\otimes (-)\colon \mathsf{Mod}(A)\to \mathsf{Mod}(A)$ 正合, 即 $S^{-1}A$ 为平坦 $A$-模.

这是因为 $$ S^{-1}A=\operatorname{colim}_{s\in S}\frac{1}{s}A, $$ 而平坦模的滤余极限是平坦模.

单射

命题. 同态 $A \to A[S^{-1}]$ 为单射当且仅当 $S$ 不含零因子.

群胚对象 (∞-范畴论) [群胚对象]

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观念

群胚对象可视为 $1$-范畴论中 “等价关系” 的概念在 $\infty$-范畴论中的推广. 与等价关系类似, (在意象中) 每个群胚对象都给出一个商映射, 而每个满射都通过 Čech 脉给出一个群胚对象. 这是刻画意象的 Giraud 公理的一部分.

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限极限. 定义 $\mathcal C$ 中的群胚对象是满足如下条件的单纯对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$:

对任意 $n\geq 2$, 若 $[n] = \{0< 1<\cdots < n\} = S \cup T$, 且 $S\cap T = \{i\}$, 则 $X([n]) \to X(S)\times_{X_{\{i\}}} X(T)$ 为等价.

例如, $\{0<1<2\} = \{0<1\} \cup \{0< 2\}$, 上述条件说 $X(\{0<1<2\}) \to X(\{0<1\})\times_{X_{\{0\}}} X(\{0<2\})$ 为等价. 直观上, 这表示从同一对象出发的任意两个态射都互相穿过.

商映射

群胚对象 $X$ 的商映射定义为映射 $$ X_0 \to \operatorname{colim}X. $$

其中 $\operatorname{colim}X$ 又称为 $X$ 的几何实现.

茎 [茎]

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定义

茎 (stalk) 是意象的点的逆像函子.

茎的元素称为芽 (germ).

例

丛的截面

对于纤维丛 $p\colon E\to B$, 点 $b\in B$ 处的一个截面芽 (germ of sections) 是 $(U,s)$ 的等价类, 其中 $U$ 是 $b$ 的邻域, $s$ 是 $p$ 在 $U$ 上的截面. 等价关系是对于更小的邻域 $V\subset U$, $(U,s)\sim (V,s|_V)$. 这就是说截面芽的集合为余极限 $$ \operatorname{colim}_U \Gamma(U,p). $$ 注意这是一个滤余极限.

配边 [配边]

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观念

作为广义同调 / 上同调理论

对一个空间 $X$, 类似于奇异同调考虑 $\Delta^n$ 到 $X$ 的映射, 配边则考虑一般的 $n$-维紧流形到 $X$ 的映射.

配边范畴与拓扑量子场论

拓扑量子场论是配边范畴到向量空间范畴 (或高阶向量空间范畴) 的幺半函子.

定义

对于拓扑空间 $X$, 记 $\Omega_n(X)$ 为 $(N,f)$ 的等价类的集合, 其中 $N$ 为 $n$-维紧 (无边界) 光滑流形, $f\colon N\to X$ 为光滑映射. 等价关系 $\sim$ 如下: $(N,f)\sim (N',f')$ 当且仅当存在 $(n+1)$-维带边流形 $M$ 使得 $\partial M = N \sqcup N'$, 以及映射 $g\colon M\to X$ 限制为 $f,f'$.

配边关系的另一种 (似乎等价的?) 定义是, 两个映射 $X\to Y,Z\to Y$ 配边是指存在紧合映射 $W\to Y \times\mathbb{R}$ 使得如下两个方块为横截拉回图. $$ \begin{array} {ccccc} X & \to & W & \leftarrow & Z\\ \downarrow && \downarrow && \downarrow\\ Y & \to & Y\times\mathbb{R} & \leftarrow & Y \end{array} $$

上面定义的集合也记作 $\Omega_n^O(X)$.

此外还有定向配边 $\Omega_n^{SO}(X)$, 复配边, 标架配边等.

带结构的配边

设 $G\to\mathrm{GL}_n$ 为群同态. 我们可以定义 (稳定法丛上) 带 $G$-结构的流形的配边.

群结构

配边类关于无交并 (即定义域的无交并) 构成 Abel 群.

无结构配边类的每个元素为 $2$ 阶元.

前推与拉回

映射 $f \colon X\to Y$ 诱导了前推 $f_* \colon N(X)\to N(Y)$.

若 $f$ 与 $g\colon Z \to Y$ 横截, 那么可定义 $f^* g \colon X\times_Y Z \to X$.

性质

Thom 定理

Thom 证明了 (一个点的) 无定向配边环同构于 $\mathbb Z/2\mathbb Z[x_n: n\in\mathbb Z_+, n\neq 2^k-1]$, 即 $n=2,4,5,6,8,9,\cdots$, 且当 $n$ 为偶数时 $x_n$ 可取为 $\mathbb RP^n$.

Thom 证明了 (一个点的) 定向配边环 $\Omega$ 与 $\mathbb Q$ 的张量积 (“抹去挠元”) 同构于 $\mathbb{Q}[x_{4k}: k\in\mathbb Z_+]$, $x_{4k}$ 可取为 $\mathbb CP^{2k}$.

对所有序列 $I=(i_1,\cdots,i_k)$, $\mathbb CP^{i_1}\times\cdots\times \mathbb CP^{i_k}$ 构成 $\Omega\otimes\mathbb Q$ 的 $\mathbb Q$-基.

两个流形在 $\Omega\otimes\mathbb Q$ 中相等当且仅当其所有 Pontryagin 数都相同.

与余同伦的关系

配边谱

配边是一种广义上同调, 配边群是一个谱的稳定同伦群, 称为 Thom 谱.