观念
作为广义同调 / 上同调理论
对一个空间 $X$, 类似于奇异同调考虑 $\Delta^n$ 到 $X$ 的映射, 配边则考虑一般的 $n$-维紧流形到 $X$ 的映射.
配边范畴与拓扑量子场论
拓扑量子场论是配边范畴到向量空间范畴 (或高阶向量空间范畴) 的幺半函子.
定义
对于拓扑空间 $X$, 记 $\Omega_n(X)$ 为 $(N,f)$ 的等价类的集合, 其中 $N$ 为 $n$-维紧 (无边界) 光滑流形, $f\colon N\to X$ 为光滑映射. 等价关系 $\sim$ 如下: $(N,f)\sim (N',f')$ 当且仅当存在 $(n+1)$-维带边流形 $M$ 使得 $\partial M = N \sqcup N'$, 以及映射 $g\colon M\to X$ 限制为 $f,f'$.
配边关系的另一种 (似乎等价的?) 定义是, 两个映射 $X\to Y,Z\to Y$ 配边是指存在紧合映射 $W\to Y \times\mathbb{R}$ 使得如下两个方块为横截拉回图.
$$
\begin{array}
{ccccc}
X & \to & W & \leftarrow & Z\\
\downarrow && \downarrow && \downarrow\\
Y & \to & Y\times\mathbb{R} & \leftarrow & Y
\end{array}
$$
上面定义的集合也记作 $\Omega_n^O(X)$.
此外还有定向配边 $\Omega_n^{SO}(X)$, 复配边, 标架配边 等.
带结构的配边
设 $G\to\mathrm{GL}_n$ 为群同态. 我们可以定义 (稳定法丛上) 带 $G$-结构的流形的配边.
群结构
配边类关于无交并 (即定义域的无交并) 构成 Abel 群.
无结构配边类的每个元素为 $2$ 阶元.
前推与拉回
映射 $f \colon X\to Y$ 诱导了前推 $f_* \colon N(X)\to N(Y)$.
若 $f$ 与 $g\colon Z \to Y$ 横截, 那么可定义 $f^* g \colon X\times_Y Z \to X$.
性质
Thom 定理
Thom 证明了 (一个点的) 无定向配边环同构于 $\mathbb Z/2\mathbb Z[x_n: n\in\mathbb Z_+, n\neq 2^k-1]$, 即 $n=2,4,5,6,8,9,\cdots$, 且当 $n$ 为偶数时 $x_n$ 可取为 $\mathbb RP^n$.
Thom 证明了 (一个点的) 定向配边环 $\Omega$ 与 $\mathbb Q$ 的张量积 (“抹去挠元”) 同构于 $\mathbb{Q}[x_{4k}: k\in\mathbb Z_+]$, $x_{4k}$ 可取为 $\mathbb CP^{2k}$.
对所有序列 $I=(i_1,\cdots,i_k)$, $\mathbb CP^{i_1}\times\cdots\times \mathbb CP^{i_k}$ 构成 $\Omega\otimes\mathbb Q$ 的 $\mathbb Q$-基.
两个流形在 $\Omega\otimes\mathbb Q$ 中相等当且仅当其所有 Pontryagin 数都相同.
与余同伦的关系
配边谱
配边是一种广义上同调, 配边群是一个谱的稳定同伦群, 称为 Thom 谱.