带基点空间 (生象) 的压缩积是带基点空间范畴 $\mathsf{Ani}_*$ 的对称幺半结构, 单位为 $*$.
谱的压缩积是谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 的对称幺半结构, 单位为球谱 $\mathbb{S}$.
定义
带基点空间 (生象) $X,Y$ 的压缩积 (smash product) $X\wedge Y$ 是如下带基点空间:
$$
X\wedge Y = \operatorname{cofib}(X\vee Y \to X\times Y).
$$
性质
压缩积 (生象或谱) 保持各个分量的余极限. 事实上, 由于 $\mathsf{Ani}_*$ 由 $S^0$ 生成, 故 $\mathsf{Ani}_*$ 上的压缩积由该性质及其单位完全刻画.
命题. $\mathsf{Ani}_*$ 上有唯一的对称幺半结构 $(\mathsf{Ani}_*,\wedge,S^0)$, 满足
- 其单位为 $S^0$,
- 且 $\wedge$ 保持各个分量的余极限.
命题. $\mathsf{Sp}$ 上有唯一的对称幺半结构 $(\mathsf{Sp},\wedge,\mathbb S)$, 满足
- 其单位为 $\mathbb S$,
- 函子 $\Sigma^\infty\colon\mathsf{Ani}_*\to\mathsf{Sp}$ 为对称幺半函子,
- 且 $\wedge$ 保持各个分量的余极限.
注意如下函子均为对称幺半函子:
$$
(\mathsf{Ani},\times)\overset{(-)_+}{\to}(\mathsf{Ani}_*,\wedge)
\overset{\Sigma^\infty}{\to}(\mathsf{Sp},\wedge),
$$
从而复合
$\Sigma^\infty_+\colon\mathsf{Ani} \to \mathsf{Sp}$ 为对称幺半函子, 也即
$$
\Sigma^\infty_+(X\times Y)\simeq \Sigma^\infty_+X \wedge \Sigma^\infty_+Y.
$$
与映射谱的关系
压缩积与映射谱构成 $\mathsf{Sp}$ 上的闭对称幺半范畴结构.