观念
从现代数学的观点, “生象” 的概念代替了传统的 “集合” 的概念: 对生象的最好描述就是一类数学对象的全体构成一个生象. Anima 有 “灵魂” 之意, 而生象在历史上的来源是从拓扑空间或其它几何对象中提取的同伦信息.
Philosophically, “anima” means something like “soul”—and, indeed, the functor from topological spaces to their homotopy category extracts something like the soul of a space: it only remembers data independent of any worldly representation in terms of physical points.
Kestutis Cesnavicius, Peter Scholze, Purity for flat cohomology
在范畴论 (尤其是高阶范畴论) 上, 生象等同于 $\infty$-群胚. 但是它值得一个特别的名字, 因为它比范畴的概念更为基本.
从集合到生象
当我们把一类事物放到一起作为一个整体来谈论的时候, “集合” 的概念便产生了. 随着数学 (尤其是同伦论, 高阶代数) 的发展, 人们发现数学语言中的 “集合” 有时不能表达实践中的 “一类事物的集体” 这一概念, 其关键的缺陷在于对何为相等这一问题的过于草率的回答.
诚然, 对于基础算术而言, 何为相等不是一个问题: $1+1$ 等于 $2$ 而不等于 $3$; 任何两个数要么相等, 要么不相等, 绝无第三种情形. 但当数学研究的对象从简单的数变成了代数, 拓扑空间, 层, 叠等等越来越复杂的结构时, 这些对象之间的相等不再是一个是或否的命题, 而是一个同样越来越复杂的问题. 甚至一个对象和自身的相等也可能不是一个平凡的命题, 而是存在多个不平凡的途径.
最终人们走向这样一个观念:
一类事物的 “集合” 之中, 任何两个事物之间的等式须构成一类新的事物, 从而这个新的 “集合” 中又可以谈论相等构成的 “集合”, 以至于无穷. 这种革新的 “集合” 概念就是生象.
生象有别于集合的特点在于, 生象 $A$ 中两个元素 $x,y$ 之间的相等不一定是一个是或否的命题, 而是一个新的生象 (换言之, 相等是结构而非性质), 记作 $x =_A y$. 一个直观是空间中两个点之间的道路空间.
当然, 集合是特殊的生象, 集合的定义是任何两个元素之间的相等都是命题的生象.
一种适合用于谈论生象的语言是同伦类型论.
性质
生象的范畴
生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 是最基本的 ∞-范畴, 也是最简单的 $\infty$-意象.
生象的表现
如下类型的对象可以表现生象, 其表现的生象有时称为同伦型:
相关概念
生象化