Wiki. 不动点 [不动点]

观念

不动点, 顾名思义即群作用之下 “不变” 的元素: $$ X^G = \{x\in X\mid \forall g\in G, gx=x\}. $$

在高阶范畴中, 何谓不变需要更仔细的解释, 但若正确理解高阶范畴中的等式, 仍有合适的不动点概念. 以同伦类型论的语言, 群 $G$ 作用于类型 $X$, 其不动点的类型为 $$ X^G := \sum_{x : X} \prod_{g : G} gx = x. $$ (注意这个定义与前面用集合语言写的定义的类比.)

意象 $\mathcal C$ 中, $G$-作用的不动点可以理解为沿 $\mathbf{B}G \to *$ 的拉回 (即 “平凡 $G$-作用” 函子) $\mathcal C = \mathcal C_{/*} \to \mathcal C_{/\mathbf{B}G}$ 的右伴随 $\mathcal C_{/\mathbf{B}G} \to \mathcal C$, 从而理解为 $\mathbf{B}G$ 上的依值积.