正规化子 [正规化子]

观念

子群 $H\subset G$ 的正规化子是在 $G$ 的共轭作用下, 将 $H$ 映射到自身的元素的子群.

定义

传统

对于子群 $H \subset G$, 其正规化子 $N_G(H)$ 是最大的使得 $H$ 在其中正规的子群.

生象群

对于生象群同态 $H\to G$, 其中心化子为群范畴的俯范畴中的自同构群 $$ \begin{aligned} N_G(H) &= \operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}_{/G}}(H \to G) \\ &= \operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}_{*/,/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}H\to\mathbf{B}G). \end{aligned} $$

性质

与 Weyl 群的关系

回忆 Weyl 群 $W$ 为 $$ W=\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}H\to\mathbf{B}G). $$ 换言之, $\mathbf{B}W$ 是 $\mathbf{B}H\to\mathbf{B}G$ 在 $(\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G})^{\simeq}$ 中构成的全子范畴. 由定义, $W$ 也作用于 $\mathsf{Ani}$ 的对象 $\mathbf{B}H$ 上. 由定义有拉回图 $$ \begin{array}{ccccc} H & \rightarrow & N_G(H) & \rightarrow & * \ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \

• & \rightarrow & W & \rightarrow & \mathbf{B}H, \end{array} $$ 也即有[纤维列](纤维列.md) $$ H\to N \to W\to \mathbf{B}H \to \mathbf{B}N \to \mathbf{B}W, $$ 从而有 $$ \mathbf{B}N = \mathbf{B}H / W, $$ $$ W= N/H. $$