如果说生象是集合在高阶范畴语境中对应的概念, 那么生象群则是群的对应概念. 所谓群就是一个对象的对称性的抽象; 生象群就是一个 $(\infty,1)$-范畴中一个对象的自同构的抽象, 也就是一个带基点 $(\infty,0)$-范畴.
同时, 生象群也可视为 $\mathsf{Ani}$ 中特殊的 $\mathbb E_1$-代数, 其每个元素都有逆.
群作用
群作用即是将抽象的群映射到具体的对称性: 群 $G$ 在范畴 $\mathcal C$ 的对象上的作用即是函子 $\mathbf{B}G \to \mathcal C$.
共轭作用
共轭作用是群 $G$ 给出的 $G$ 本身的对称性; 一种简明的看法是: 移动 $\mathbf{B}G$ 的基点, 给出其作为带基点生象的对称性.
半直积
此时一个自然的观察是, 群可以作用于另一个群上.
设群 $H$ 作用于群 $N$, 即作用于带基点连通对象 $\mathbf{B}N\in\mathsf{Ani}_{*/}^{\geq 1}$, 其商 $(\mathbf{B}N) / H$ 自然地是一个带基点生象, 对应于一个群 $G$, 称为 $N$ 与 $H$ 的半直积.
群同态
群同态是特殊的群作用: 一个群作用在另一个单对象范畴的唯一对象上.
在 $\infty$-范畴的语境中, 正如子集的概念常常替换为一般映射, 子群的概念常常替换为一般同态. 对子群定义的陪集空间也可对任何群同态定义.
核
对于生象群同态 $f\colon G\to H$, 其核由如下纤维列定义:
$$
\mathbf{B}\ker f \to \mathbf{B}G \overset{\mathbf{B}f}{\to} \mathbf{B}H.
$$
也即
$$
\mathbf{B}\ker f = \operatorname{fib}(\mathbf{B}f) = \mathbf{B}G \times_{\mathbf{B}H}*.
$$
余核
对于生象群同态 $f\colon G\to H$, 其余核由如下余纤维列定义:
$$
\mathbf{B}G \overset{\mathbf{B}f}{\to} \mathbf{B}H \to \mathbf{B}\operatorname{coker}f.
$$
注意. 余核的行为与经典群论有很大差异.
- 即使对于正规子群, $\operatorname{coker}f$ 一般也不是 $H$ 在 $G$ 上右作用的商 $G/H$.
- 即使对于正规子群, $H\to\operatorname{coker}f$ 的核一般也不是 $G$.
例. $2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 的余核是 $\Omega\mathbb{RP}^2$ 而不是 $\mathbb{Z}/2$.
一般地, 函子 $\mathsf{Grp}(\mathsf{Set}) \to \mathsf{Grp}(\mathsf{Ani})$ 保持极限, 但不保持余极限.
中心与中心化子
群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是 $G$ 在自身上的共轭作用的不动点集.
子群 (或群同态) $H\to G$ 的中心化子是 $H$ 在 $G$ 上的共轭作用的不动点集.
中心作用
群的内自同构
群的外自同构
todo
正规子群与正规化子
正规子群, 正规同态
正规化子
小结
群论中的许多构造都可以定义在生象群的语境中, 许多构造都形如某些熟悉对象的自同构群.
对于群同态 $f\colon H\to G$, 即带基点生象的映射 $\mathbf{B}f\colon \mathbf{B}H \to \mathbf{B}G$,
- 其作为生象映射的自同构群 $\operatorname{Aut}_{\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}H,\mathbf{B}G)}(\mathbf{B}f)$ 即为 $f\colon H\to G$ 的中心化子;