定义
极大环面的 Weyl 群
紧 Lie 群的 Weyl 群是其极大环面 $H$ 的正规化子 $N(H)$ 的商群
$$
W = N(H)/H.
$$
一个重要的观察是 Weyl 群共轭作用在极大环面 $T$ 上, 且这个作用有效 (effective), 即单位元素外每个元素的作用非平凡.
一般子群的 Weyl 群
对任意的子群 $H\subset G$ 也可以定义 Weyl 群 $W_GH := N(H)/H$.
那么 Weyl 群是能够典范地作用于一个 $G$-作用的 $H$-不动点的最大群.
例. 紧 Lie 群 $G$ 的极大环面 $T$ 是 $T$ 在 $G$ 上的共轭作用的不动点, 因而 Weyl 群 $W$ 作用于其上.
Weyl 群也是陪集空间 $G/H$ 在 $G$ 的轨道范畴中的自同构群. 详见 Weyl 群 (一般子群)
Lie 代数 Cartan 子代数的 Weyl 群
设 $\mathfrak g$ 为 Lie 代数, $\mathfrak h$ 为 Cartan 子代数, Weyl 群 $W\subset GL(\mathfrak h^*)$ 由 $\{s_\alpha: \alpha\in\Phi\}$ 生成, 其中 $s_\alpha$ 是关于根 $\alpha$ 的正交补空间的反射.
例
$\mathrm {U}(n)$ 的极大环面是 $T=\{\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\cdots,e^{i\theta_n})\}$, 其 Weyl 群通过置换特征值作用在 $T$ 上, 故 Weyl 群为置换群 $S_n$.
$\mathrm {SU}(n)$ 的 Weyl 群亦为置换群 $S_n$.
$\mathrm {SO}(2n+1)$ 的 Weyl 群为 $(\mathbb{Z}/2)^n \rtimes S_n$.