群的外自同构 [群的外自同构]
群的外自同构 [群的外自同构]
定义
定义 $n$-截断群 $G$ 的 $n$-截断外自同构群 (outer automorphism group) 为其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 作为生象的自同构群的 $n$-截断: $$ \begin{aligned} \operatorname{Out}_{\leq n}(G)&:= \tau_{\leq n} (\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\ & =\tau_{\leq n}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G). \end{aligned} $$
注. 两个群的逆环路空间之间 (作为不带点生象) 的映射空间满足 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G,\mathbf{B}H)\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}(\mathsf{Ani})}(G,H)/_{\mathrm{Ad}} H, $$ 即群同态的生象关于 $H$ 的共轭作用的商.
离散群
考虑 $G$ 为离散群 ($0$-截断群) 的情形.
考虑群 $G$ 的外自同构群 $$ \begin{aligned} \operatorname{Out}(G)&= \tau_{\leq 0} (\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\ & =\tau_{\leq 0}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G). \end{aligned} $$ 一个生象 $A$ 在某点处的连通分支是 $A\to\tau_{\leq 0} A$ 在该点的纤维. 由中心 $Z(G)$ 的定义, $\mathbf{B}Z(G)$ 是 $\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G)$ 在 $\mathrm{id}$ 处的连通分支. 那么有短正合列 $$ \mathbf{B}Z(G) \to \operatorname{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G) $$ 以及纤维列 $$ \begin{aligned} \mathbf{B}Z(G) &\to \operatorname{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)\\ \to \mathbf{B}^2Z(G) &\to \mathbf{B}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G) \to \mathbf{B}\operatorname{Out}(G). \end{aligned} $$