定义
群
$\mathsf{Set}$ 中的群 (或幺半群) $G$ 的中心为 $G$ 中与所有元素交换的元素构成的子集:
$$
Z(G) = \{g\in G | \forall h\in G, gh=hg\}.
$$
对更一般的群 (如生象群) $G$,
定义
$$
Z(G) := \operatorname{Aut}_{\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)}(\mathrm{id}).
$$
换言之,
- $Z(G) = \Omega^2(\mathsf{Ani}^\simeq,\mathbf{B}G)$ 为 $\mathsf{Ani}^\simeq$ (“生象的生象”) 在 $\mathbf{B}G$ 处的二重环路空间 (可见 $Z(G)$ 是个 $\mathbb E_2$-群);
- $\mathbf{B}Z(G)$ 是 $\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)$ 在 $\mathrm{id}_{\mathbf{B}G}$ 处的连通分支.
一个生象 $A$ 的连通分支是 $A\to\tau_{\leq 0} A$ 的纤维. 此外, 两个群的逆环路空间之间 (作为不带点生象) 的映射空间满足
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G,\mathbf{B}H)\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}(\mathsf{Ani})}(G,H)/_{\mathrm{Ad}} H,
$$
即群同态的生象关于 $H$ 的共轭作用的商,
因此该定义也可等价地陈述如下. 考虑群 $G$ 的外自同构群
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Out}(G)&=
\tau_{\leq 0}
(\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\
& =\tau_{\leq 0}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G).
\end{aligned}
$$
那么有短正合列
$$
\mathbf{B}Z(G) \to \mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)
$$
以及纤维列
$$
\begin{aligned}
\mathbf{B}Z(G) &\to \mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)\\
\to \mathbf{B}^2Z(G) &\to \mathbf{B}\mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \mathbf{B}\operatorname{Out}(G).
\end{aligned}
$$
环
固定交换环 $k$ 作为基环.
设 $A$ 为 $k$ 上的结合代数. $A$ 的中心是与所有元素交换的元素的集合
$$
Z(A) = \{a\in A | \forall b\in A, ab=ba\},
$$
也是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模的自同态的集合
$$
Z(A) = \operatorname{End}_{\mathsf{BiMod}(A,A)}(A),
$$
也是等化子
$$
Z(A) = \operatorname{eq}\big(
A\rightrightarrows \operatorname{Hom}_k(A,A)
\big),
$$
其中两个映射分别为左乘与右乘.
回忆 Morita 范畴中, 结合代数 $A$ 的恒等态射即是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模. 因此, $A$ 的中心又可理解为
$$
Z(A) = \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Morita}}(A)}(\mathrm{id}).
$$
进一步, Morita 范畴嵌入线性范畴的范畴, 从而结合代数 $A$ 的中心也可定义为
$$
Z(R) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Cat}}(\mathsf{Mod}(A))}(\mathrm{id}).
$$
幺半范畴
设 $\mathcal C$ 为 $k$-线性幺半范畴,
定义 $\mathcal C$ 的 Drinfeld 中心 $Z(\mathcal C)$ 是一个辫幺半范畴, 可理解为两个函子 $\mathcal C \to \operatorname{Hom}_k(\mathcal C,\mathcal C)$ 的等化子, 其对象为 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 配备自然变换
$$
X\otimes (-) \to (-)\otimes X,
$$
满足两个自然变换 $X\otimes (Y\otimes Z)\to (Y\otimes Z)\otimes X$ 相等.
2-范畴的对象
定义 $2$-范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 的中心为幺半群
$$
Z(X) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}(\mathrm{id}_X).
$$
它类似于 $\mathcal C$ 在 $X$ 处的二阶环路空间.
由 Eckmann–Hilton 论证, $Z(X)$ 为 $\mathbb E_2$ 幺半群 (辫幺半群).
这样定义的中心又称 Hochschild 上同调.
相关概念
余中心