Wiki. 群的短正合列 [群短正合列]

性质

纤维列

群的短正合列 $K \to G \to H$ 给出纤维列 $$ K\to G \to H\to\mathbf{B}K \to \mathbf{B}G \to\mathbf{B}H, $$ 从而有以下看法:

• $\mathbf{B}K\to\mathbf{B}G$ 是一个 $H$-主丛;
• $H\to \mathbf{B}K$ 是一个 $G$-主丛;
• $G\to H$ 是一个 $K$-主丛;

换言之,

• $H$ 在 $\mathbf{B}K$ 上有一作用, 其商为 $(\mathbf{B}K) / H = \mathbf{B}G$;
• $G$ 在 $H$ 上有一作用, 其商为 $H / G = \mathbf{B}K$;
• $K$ 在 $G$ 上有一作用, 其商为 $G / K = H$.

分裂短正合列

称短正合列 $K \to G \to H$ 分裂 (split) 是指 $G \to H$ 有作为群同态的截面 $H\to G$. 分裂的短正合列中, $G$ 是 $K$ 与 $H$ 的半直积.