百科. 分裂域 [分裂域]

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观念

若域扩张类比于覆叠, 那么分裂域则是覆叠的局部平凡化. 这里的局部是指通过覆盖 (更具体地说是平展覆盖).

对于域 $k$ 上的多项式 $f$, 域扩张 $k\subset K$ 分裂 $f$, 等价于如下条件: 拉回 $$ \begin{array} {ccc} &&\operatorname{Spec}k[x]/(f)\\ &&\downarrow\\ \operatorname{Spec}K & \to & \operatorname{Spec}k \end{array} $$ 是若干个 $\operatorname{Spec}K$ 的无交并.

It was this observation that led Grothendieck to think that the neighborhoods $U$ in topological spaces could effectively be replaced by maps $C \to X$ which are not necessarily monic.

— Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk SGL III.1 节

定义

域 $k$ 上一族多项式 $S\subset k[x]$ 的分裂域是满足如下条件的域扩张 $k\subset K$:

$S$ 中的每个多项式在 $K$ 上分裂为一次多项式的乘积;
$K$ 中包含 $k$ 以及 $S$ 中的多项式的所有根的最小的子域是 $K$ 自身.

性质

自同构

一个可分多项式 $f\in k[x]$ 的分裂域 $K$ 的自同构 $\operatorname{Aut}_k(K)$ 的阶数恰为 $f$ 的次数.

参考资料

参考资料. Sheaves in Geometry and Logic - A First Introduction to Topos Theory [MaclaneMoerdijkSGL]

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk

@book{maclane1994sheaves,
  title={Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory},
  author={MacLane, S. and Moerdijk, I.},
  isbn={9780387977102},
  lccn={lc91033709},
  series={Universitext},
  url={https://books.google.com/books?id=SGwwDerbEowC},
  year={1994},
  publisher={Springer New York}
}

内容

Prologue
Categorical Preliminaries
Categories of Functors
Sheaves of Sets
Grothendieck Topologies and Sheaves
First Properties of Elementary Topoi
Basic Constructions of Topoi
Topoi and Logic
Geometric Morphisms
Classifying Topoi
Localic Topoi
Geometric Logic and Classifying Topoi

反向链接

百科. Galois 扩张 [Galois扩张]

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观念

Galois 扩张是域的平展景上以离散群为结构群的 Galois 主丛.

定义

域的 Galois 扩张是正规且可分的代数扩张.

有限 Galois 扩张

域的有限 Galois 扩张是满足如下等价条件的扩张 $F\subset E$:

$F\subset E$ 是 Galois 扩张, 且是有限扩张.
$E$ 是 $F$ 上某个可分多项式的分裂域;
$E$ 是 $F$ 的有限扩张, 且 $E^{\operatorname{Aut}_F(E)} = F$;
存在有限子群 $G\subset\operatorname{Aut}(E)$ 使得 $F=E^G$.

性质

Galois 对应

对于有限 Galois 扩张 $F\subset E$, 有双射 $$ \{F\subset E\text{ 的中间域}\} \leftrightarrow \{\operatorname{Gal}(E/F) \text{ 的子群}\}, $$ 将中间域 $F\subset M\subset E$ 对应到子群 $\operatorname{Aut}(E/M)\subset\operatorname{Gal}(E/F)$; 且对于正规情形有 $$ \{\text{正规的中间域}\} \leftrightarrow \{\text{正规子群}\}. $$ 设 $F\subset M\subset E$ 是正规的中间域, 则 $E/F$ 的任何自同构将 $M$ 映射到 $M$ 自身, 有短正合列 $$ 1\to \operatorname{Aut}(E/M) \to \operatorname{Gal}(E/F) \to \operatorname{Gal}(M/F) \to 1. $$

复合

设 $F\subset M\subset E$ 是两个域扩张.

若 $F\subset E$ 是 Galois 扩张, 则 $M\subset E$ 是 Galois 扩张.
当 $F\subset E$ 是 Galois 扩张时, $F\subset M$ 不一定是 Galois 扩张 (考虑 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$).

“函子性”

在以下两个命题中, 设 $F\subset E_1$, $F\subset E_2$ 为域扩张, 且 $E_1$, $E_2$ 同时包含于某个更大的域. 记 $E_1\cup E_2$ 生成的域为 $E_1E_2$.

命题. 若 $F\subset E_1$ 为 Galois 扩张, 则 $E_2\subset E_1E_2$ 为 Galois 扩张, 且有自然的嵌入 $$ \operatorname{Gal}(E_1E_2 / E_2) \hookrightarrow \operatorname{Gal}(E_1 / F). $$

命题. 若 $F\subset E_1$ 为 Galois 扩张且 $E_1\cap E_2 = F$, 则上述嵌入为同构.

百科. 正规扩张 [正规扩张]

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观念

对于域扩张 $k\subset K$, 视为 “覆叠” 映射 $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}k$; 正规扩张这一条件是 “覆叠变换群在纤维上作用传递” 的类比. 所谓纤维即是 $\operatorname{Spec}K$ 沿 $\operatorname{Spec}\bar k \to \operatorname{Spec}k$ 的拉回, 而纤维的一个点即是一个提升 $\operatorname{Spec}\bar k\to\operatorname{Spec}K$, 也即嵌入 $K\hookrightarrow\bar k$.

定义

正规扩张是满足如下等价条件的代数扩张 $k\subset K$:

$K$ 是 $k$ 上一族多项式 $S\subset k[x]$ 的分裂域;
固定一个代数闭包 $k\hookrightarrow\bar k$, 那么任意两个保持 $k$ 的嵌入 $K\hookrightarrow \bar k$ 有相同的像;
$\operatorname{Aut}_k(K)$ 在嵌入的集合 $\{K\hookrightarrow\bar k\}$ 上的作用传递;
对 $k$ 上任意不可约多项式 $f$, 若 $f$ 在 $K$ 中有根, 则 $f$ 在 $K$ 上分裂为一次式之积.

对任意代数扩张 $k\subset L$, 存在同构意义下唯一的最小代数扩张 $L\subset K$ 使得 $k\subset K$ 为正规扩张, 称为 $k\subset L$ 的正规闭包.

性质

复合

设 $k\subset M\subset K$ 是两个接续的域扩张, 若 $k\subset K$ 正规, 则 $M\subset K$ 正规. (考虑 $K$ 到 $\bar k$ 的保持 $M$ 的嵌入.)

例

非正规扩张的例子

扩张 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 不正规, 因为

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 到 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包 $\overline{\mathbb{Q}}$ 有另一个嵌入 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)$, 其中 $\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$;
多项式 $x^3-2$ 有根却不能分裂为一次式之积.

而扩张 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 正规. 它是 $x^3 - 2$ 的分裂域.

正规扩张的复合不一定是正规扩张, 如 $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$.