观念
域扩张 $k \subset K$ 是可分扩张的条件大致相当于映射 $\operatorname{Spec}K\to \operatorname{Spec}k$ 的平展性, 也即 “纤维的点各自分散, 没有粘在一起”.
对于由一个可分元素生成的扩张 $k \subset k(\alpha)$,
$$
k(\alpha) \otimes_k \bar k \simeq k[x]/((x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_n)) \simeq\prod_{i=1}^n k[x]/(x-\alpha_i).
$$
在几何侧, 这表明 $\operatorname{Spec}k(\alpha) \to \operatorname{Spec}k$ 在点 $\operatorname{Spec}\bar k\to\operatorname{Spec}k$ 处的纤维为 $n$ 个分立的点.
定义
对于域扩张 $F\hookrightarrow E$, 称 $\alpha\in E$ 可分是指其极小多项式 $f_\alpha$ 满足
$$\operatorname{gcd}(f_\alpha,f_\alpha ') = 1,$$
这也等价于 $f_\alpha$ 在 $F$ 的某个代数闭包上无重根.
若 $E$ 的所有元素都可分, 则称域扩张 $F\hookrightarrow E$ 为可分扩张. (这要求其为代数扩张.) 事实上, 只需要域扩张 $F\hookrightarrow E$ 由可分元素生成, 就可得到 $F\hookrightarrow E$ 为可分扩张; 这是因为可分元素的和, 积, 商仍为可分元素.
极大的可分扩张称为可分闭包. 在一个域扩张 $F\hookrightarrow E$ 中, 可分元素构成的子域也称为 $F$ 在 $E$ 中的可分闭包.
性质
几何侧
有限可分扩张在几何侧对应的仿射概形的态射是平展概形态射.
迹配对非退化
命题. 域扩张 $F\hookrightarrow E$ 可分当且仅当迹映射给出一个非退化双线性型
$$
E\times E \to F, (x, y)\mapsto \operatorname{Tr}_{E/F}(xy).
$$
见 Stacks Project 0BIE.
可分代数
设 $k\subset K$ 是可分域扩张, 则 $K$ 是 $k$ 上的可分代数.
复合
可分扩张的复合仍是可分扩张; 另一方面, 若两个域扩张的复合为可分扩张, 则两者均为可分扩张.
本原元
有限可分扩张是由一个元素生成的; 这称为本原元定理.
例
可分而没有自同构的例子
扩张 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 可分, 但 $\operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))$ 为平凡群.
不可分扩张的例子
$\mathbb{F}_p(x^p) \hookrightarrow \mathbb{F}_p(x)$ 不可分, 因为 $x$ 的极小多项式 $X^p-x^p = (X-x)^p$ 有重根 (其导数为零). 这是纯不可分扩张的例子.