百科. 正规扩张 [正规扩张]

观念

对于域扩张 $k\subset K$, 视为 “覆叠” 映射 $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}k$; 正规扩张这一条件是 “覆叠变换群在纤维上作用传递” 的类比. 所谓纤维即是 $\operatorname{Spec}K$ 沿 $\operatorname{Spec}\bar k \to \operatorname{Spec}k$ 的拉回, 而纤维的一个点即是一个提升 $\operatorname{Spec}\bar k\to\operatorname{Spec}K$, 也即嵌入 $K\hookrightarrow\bar k$.

定义

正规扩张是满足如下等价条件的代数扩张 $k\subset K$:

• $K$ 是 $k$ 上一族多项式 $S\subset k[x]$ 的分裂域;
• 固定一个代数闭包 $k\hookrightarrow\bar k$, 那么任意两个保持 $k$ 的嵌入 $K\hookrightarrow \bar k$ 有相同的像;
• $\operatorname{Aut}_k(K)$ 在嵌入的集合 $\{K\hookrightarrow\bar k\}$ 上的作用传递;
• 对 $k$ 上任意不可约多项式 $f$, 若 $f$ 在 $K$ 中有根, 则 $f$ 在 $K$ 上分裂为一次式之积.

对任意代数扩张 $k\subset L$, 存在同构意义下唯一的最小代数扩张 $L\subset K$ 使得 $k\subset K$ 为正规扩张, 称为 $k\subset L$ 的正规闭包.

性质

复合

设 $k\subset M\subset K$ 是两个接续的域扩张, 若 $k\subset K$ 正规, 则 $M\subset K$ 正规. (考虑 $K$ 到 $\bar k$ 的保持 $M$ 的嵌入.)

例

非正规扩张的例子

扩张 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 不正规, 因为

• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 到 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包 $\overline{\mathbb{Q}}$ 有另一个嵌入 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)$, 其中 $\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$;
• 多项式 $x^3-2$ 有根却不能分裂为一次式之积.

而扩张 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 正规. 它是 $x^3 - 2$ 的分裂域.

正规扩张的复合不一定是正规扩张, 如 $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$.