Wiki. 半直积 [半直积]

定义

设群 $H$ 作用于群 $N$, 即作用于带基点连通对象 $\mathbf{B}N\in\mathsf{Ani}_{*/}^{\geq 1}$, 其商 $(\mathbf{B}N) / H$ 是一个群 $G = N \rtimes H$ 的逆环路空间, 这个群称为半直积 (semidirect product).

性质

分裂短正合列

半直积 $G = N\rtimes H$ 给出右分裂的短正合列 $$ 1\to N \to G \to H \to 1, $$ 其中 $G\to H$ 有群同态截面 $H\to G$, 这是因为 $H$ 在 $\mathbf{B}N$ 上的作用保持基点, 即有 $\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}H}$ 中的映射 $\mathbf{B}H \to (\mathbf{B}N)/H = \mathbf{B}G$.

例