半直积 [半直积]

定义

传统定义

设 $\mathsf{Set}$ 中的群 $H$ 作用于群 $N$, 考虑 $N\times H$ 带有如下群结构, $$ (n,h) (n',h') = (n (h\cdot n'),hh'), $$ 所得的群记作 $N\rtimes H$, 称为 $N$ 与 $H$ 的半直积 (semidirect product).

一般定义

设群 $H$ 作用于群 $N$, 即作用于带基点连通对象 $\mathbf{B}N\in\mathsf{Ani}_{*/}^{\geq 1}$, 其商 $(\mathbf{B}N) / H$ 是一个群 $G = N \rtimes H$ 的逆环路空间, 这个群称为 $N$ 与 $H$ 的半直积.

性质

分裂短正合列

半直积 $G = N\rtimes H$ 给出右分裂的短正合列 $$ 1\to N \to G \to H \to 1, $$ 其中 $G\to H$ 有群同态截面 $H\to G$, 这是因为 $H$ 在 $\mathbf{B}N$ 上的作用保持基点, 即有 $\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}H}$ 中的映射 $\mathbf{B}H \to (\mathbf{B}N)/H = \mathbf{B}G$.

例

Galois 群

$x^5 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域为 $\mathbb{Q}[\zeta,\alpha]$, 其中 $\zeta=\exp(2\pi/5),\alpha=\sqrt[5]{2}$. 考虑

• $\mathbb{Q}[\zeta]$ 的固定子群 $N$, 由于 $\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}$ 正规 (是 $x^5-1$ 的分裂域), 故 $N\hookrightarrow G$ 为正规子群;
• $\mathbb{Q}[\alpha]$ 的固定子群 $H$,

那么 $$ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta,\alpha],\mathbb{Q}) \simeq H \rtimes N. $$