束 (gerbe) 是意象中的一种特殊的对象, 仅包含某一个阶数的非平凡同伦信息.
定义
抽象定义
束就是意象中的 $1$-截断 $0$-连通对象.
一般地, 定义 $n$-束为 $n$-截断 $(n-1)$-连通对象.
使用相对观点, 对于态射 $Y\to X$, 若其在 $X$ 上的俯意象中为 $n$-束, 我们也可称之为 $X$ 上的 $n$-束.
一般的束没有 (整体的) 点.
由定义, 带点的 $n$-束等同于 $n$ 阶 Eilenberg–MacLane 对象, 又称为平凡 $n$-束 (trivial $n$-gerbe).
通过景定义
景 $(\mathcal C,J)$ 上的束 (gerbe) 是 $1$-群胚取值的层 $F \colon \mathcal C\to\mathsf{Ani}_{\leq 1}$, 满足
- ($(-1)$-连通性) $F$ 局部非空, 即存在终对象的覆盖 $(U_i)$, 使得 $F(U_i)$ 非空;
- ($0$-连通性) 对任意 $U\in\mathcal C$, 任意两个元素 $x,y\in F(U)$ 局部同构, 即存在 $U$ 的覆盖使得 $x,y$ 在其上的限制 (拉回) 同构.
性质
设 $F$ 为 $n$-束, $x,y\colon * \to F$ 为两个点. 考虑拉回
$$
\begin{array}
{ccc}
*\times_F * & \to & * \\
\downarrow & & \downarrow {\scriptsize{x}}\!\!\! \\
* & \underset{y}{\to} & F,
\end{array}
$$
那么 $*\times_F *$ 为 $(n-1)$-束.
由群控制的束
类似于 Eilenberg–MacLane 空间由一个 (Abel) 群控制, 束有时也可由群控制.
$n=1$ 情形.
定义. 设 $G$ 为意象 $\mathcal{C}$ 中的 $0$-截断群, 定义由 $G$ 控制的 $1$-束是一个 $1$-束带有如下结构:
- (抽象表述) $F$ 的 $1$ 阶整体同伦群与 $G$ 的同构 $\pi_1(F)\simeq G_F := G\times F$;
- (传统表述, 对于景 $(\mathcal C,J)$ 上的层意象定义) 对任意 $U\in\mathcal C$, 任意 $x\in F(U)$, 有函子性的同构 $G(U) \simeq \operatorname{Aut}_{F(U)}(x)$.
注. 假设 $\pi_1(F)\simeq G_F$, 即 “对任意 $x\in F$” (只能在局部上或在内语言中解读) 有 $\pi_1(F,x)\simeq G$, 由截断性实际上有 $\Omega(F,x)\simeq G$; 那么 (外部语言) 对任意 $x\in F(U)$ 就有 $\operatorname{Aut}_{F(U)}(x)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}_{/U}}(U,\Omega (F\times U,x)) \simeq G(U)$.
注. 对于 $1$-束 $F$, 上面的群 $G$ 不一定存在.
$n\geq 2$ 情形.
定义. 设 $n\geq 2$, $A$ 为意象 $\mathcal{C}$ 中的 $0$-截断 Abel 群. 定义由 $A$ 控制的 $n$-束为一个 $n$-束 $F$ 带有一个同构 $\pi_n(F) \simeq A\times F$.
直观上, $A$-束 $F$ 在每一点处的 $n$ 阶同伦群均为 $A$. 注意这不能推出 $F$ 同构于 Eilenberg–MacLane 对象 $\mathbf{B}^n A$. 因为 $F$ 甚至可以没有整体的点.
记 Abel 群 $A$ 控制的 $n$-束的范畴为 $\mathsf{Gerb}_n^A(\mathcal{C})$.
命题. 设 $F$ 为意象 $\mathcal C$ 中的 $n$-束 ($n\geq 2$), 则存在 $\mathcal C$ 中的 $0$-截断 Abel 群 $A$, 使得
$$
\pi_n (F) \simeq A \times F.
$$
证明.
由于 $F$ 是 $(n-1)$-连通对象, 函子 $F\times (-) \colon \mathcal{C} \to\mathcal{C}_{/F}$ 诱导了俯意象的 $(n-2)$-截断部分的等价
$$
\mathcal{C}_{\leq n-2} \simeq (\mathcal{C}_{/F})_{\leq n-2}.
$$
特别地, 两边的 $0$-截断部分等价, 从而 $\pi_n (F) \in \mathsf{Ab}((\mathcal{C}_{/F})_{\leq 0})$ 对应于 $A\in\mathsf{Ab}(\mathcal{C}_{\leq 0})$.
平凡性与局部平凡性
对于 $0$-截断群 $A$, 由 $A$ 控制的带点 $n$-束即为 Eilenberg–MacLane 对象 $K(A,n)=\mathbf{B}^n A$. 定义一个 $A$ 控制的 $n$-束 $F$ 的平凡化为其 (整体) 点; 也等同于其到 $\mathbf{B}^n A$ 的等价.
设 $A$ 是意象 $\mathcal C$ 中的 $0$-截断 Abel 群, 对于 $X$ 上 $A$ 控制的 $n$-束 $\tilde{X} \to X$, 若有 $\mathcal C_{/X}$ 中的同构 $\tilde{X} \simeq X\times\mathbf{B}^{n}A$, 则称 $\tilde{X}\to X$ 为平凡 $n$-束, 称同构 $\tilde{X} \simeq X\times\mathbf{B}^{n}A$ 为 $\tilde{X}$ 的 平凡化.
命题. 若 $n$-束 $\tilde{X}\to X$ 有截面 $s\colon X\to \tilde{X}$, 则它是平凡 $n$-束.
命题. $X$ 上的 $n$-束 $\tilde{X} \to X$ 在 $X$ 的局部有截面; 即沿某个满射 $U\to X$ 的拉回有截面 (从而为平凡 $n$-束).
与上同调的关系
命题. 设 $A$ 为意象 $\mathcal{C}$ 中的 $0$-截断 Abel 群, $n\geq 2$. 则有生象的等价
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,\mathbf{B}^n A) \simeq \mathsf{Gerb}_{n-1}^A(\mathcal C_{/X}),
$$
将 $X\to\mathbf{B}^n A$ 对应到拉回 $(n-1)$-束
$$
\begin{array}
{ccc}
\tilde{X} & \to & * \\
\downarrow & & \downarrow \\
X & \to & \mathbf{B}^n A.
\end{array}
$$
换言之, $*\to \mathbf{B}^n A$ 是万有的 $A$ 控制的 $(n-1)$-束.
特别地 (取 $0$-截断), $X$ 的 $A$-系数上同调 $H^n(X,A)$ 等同于 $A$ 控制的 $(n-1)$-束的等价类.
证明. 要证的是对任意由 $A$ 控制的 $(n-1)$-束 $\tilde{X}\to X$, 存在唯一如上的拉回图.
采用从局部到整体的方法. 首先, 要证明的结论关于 $X$ 是局部的; 也就是对任意满射 $U\to X$, 只要结论对拉回 $(n-1)$-束 $\tilde{X}\times_X U \to U$ 成立, 就有结论对 $(n-1)$-束 $\tilde{X}\to X$ 成立.
扭层
(集合值的) 层可以视为平凡束的截面; 一般地, 每一个束的截面给出一种扭层的概念, 用传统的观点即一个 “粘合条件被 $2$-上圈扭过” 的层.