轨道范畴 [轨道范畴]

观念

群 $G$ 的作用可表示为 $\mathbf{B}G$ 出发的函子, 但有时人们更愿意将其表示为 “轨道范畴” $\mathsf{Orb}_G$ 出发的函子, $\mathsf{Orb}_G$ 中包含了 $\mathbf{B}G$ 作为全子范畴 (对应于 $G$ 自身作为轨道), 同时包含了更多的信息; 这些更多的信息对于 $G$ 的每个子群 $H$ 指出了该作用的 $H$-不动点.

定义

传统

群 $G$ 的轨道范畴 $\mathsf{Orb}_G$ 是由各个子群 $H\subset G$ 对应的陪集空间 $G/H$ 以及它们之间的 $G$-等变映射构成的范畴.

性质

与 $G$-集合的关系

$G$-集合范畴 $G\text{-}\mathsf{Set}$ 是 $\mathsf{Orb}_G$ 的余积完备化, 即 “自由地添加余积” 所得的范畴. 直观上, 这就是说每个 $G$-作用都可分解为传递作用的无交并.