Weyl 群 (一般子群) [Weyl群(一般子群)]

定义

对群 $G$ 的子群 $H\subset G$, 定义其 Weyl 群 $W_GH := N(H)/H$ 为正规化子的商.

也可以不依赖于正规化子, 定义 Weyl 群为 $$ W=\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}H\to\mathbf{B}G). $$ 换言之, $\mathbf{B}W$ 是 $\mathbf{B}H\to\mathbf{B}G$ 在 $(\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G})^{\simeq}$ 中构成的全子范畴.

关于紧 Lie 群 (代数群) 的 Weyl 群详见 Weyl 群 (极大环面).

性质

由定义 $$ W=\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}H\to\mathbf{B}G), $$ 可知

• Weyl 子群是能够典范地作用于一个 $G$-作用的 $H$-不动点的最大群.
• Weyl 群也是陪集空间 $G/H$ 在 $G$ 的轨道范畴中的自同构群.