中心群同态, 中心映射 [中心映射]

定义

对于群同态 $H \to G$, 若其穿过 $G$ 的中心 $H\to Z(G)$, 则称之为中心群同态.

注意, 一般生象群之间的一个同态构成中心群同态是结构而非性质.

中心群同态的概念也可以不依赖于中心的概念而定义; 将群视为带基点连通生象, 我们定义中心映射的概念.

对于带基点连通生象的保基点映射 $f\colon Y\to X$, 若存在如下交换图 (左图与右图的信息等价), 则称之为中心映射.

考虑 $\operatorname{End}_{\mathsf{Ani}}(X)$ 中基点 $\mathrm{id}_X$ 所在的连通分支 $\operatorname{End}_{\mathsf{Ani}}(X)_{0}$; 由定义, 万有的中心映射即是 $\mathrm{ev}_*\colon \operatorname{End}_{\mathsf{Ani}}(X)_{0}\to X$.

注意当 $X=\mathbf{B}G$ 时, $$ \Omega_{\mathrm{id}}\operatorname{End}_{\mathsf{Ani}}(X)_{0} = \Omega_{\mathrm{id}}\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G) = Z(G), $$ 其中 $Z(G)$ 是 $G$ 的中心.