观念
许多不同数学结构都有 “中心” 的概念, 所有这些概念都是相互联系的. 每种中心的概念都是某个 (充实) $2$-范畴中的 “$2$ 阶环路”, 即 $\operatorname{End}(\mathrm{id})$, 这解释了其 $\mathbb E_2$-结构.
定义
群
对生象群 $G$, 定义其中心为
$$
Z(G) := \operatorname{Aut}_{\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)}(\mathrm{id}).
$$
换言之,
- $Z(G) = \Omega^2(\mathsf{Ani}^\simeq,\mathbf{B}G)$ 为 $\mathsf{Ani}^\simeq$ (“生象的生象”) 在 $\mathbf{B}G$ 处的二重环路空间 (可见 $Z(G)$ 是个 $\mathbb E_2$-群);
- $\mathbf{B}Z(G)$ 是 $\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)$ 在 $\mathrm{id}_{\mathbf{B}G}$ 处的连通分支.
由定义, 中心 $Z(G)$ 到 $G$ 本身有一典范映射
$$
Z(G)\to \operatorname{Aut}_{\mathbf{B}G}(*) = G.
$$
结合代数
固定交换环 $k$ 作为基环.
设 $A$ 为 $k$ 上的结合代数. $A$ 的中心是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模的自同态集
$$
Z(A) = \operatorname{End}_{\mathsf{BiMod}(A,A)}(A),
$$
回忆 Morita 范畴中, 结合代数 $A$ 的恒等态射即是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模. 因此, $A$ 的中心又可理解为
$$
Z(A) = \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Morita}}(A)}(\mathrm{id}).
$$
进一步, Morita 范畴嵌入线性范畴的范畴, 从而结合代数 $A$ 的中心也可定义为
$$
Z(R) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Cat}}(\mathsf{Mod}(A))}(\mathrm{id}).
$$
范畴
范畴 $\mathcal{C}$ 的中心为幺半群
$$
Z(\mathcal{C}) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Cat}}(X)}(\mathrm{id}_{\mathcal{C}}).
$$
见后文 “$2$-范畴的对象”.
由定义, 若将群 $G$ 视为单对象范畴 $\mathbf{B}G$, 则 $G$ 的中心即是范畴 $\mathbf{B}G$ 的中心. 当然, 一般的结合代数的中心也可通过视为单对象充实范畴来定义.
幺半范畴
注. 当我们说幺半范畴的中心时, 一般不是将其视为范畴像上一小节那样定义中心, 而是视为 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数定义中心.
设 $\mathcal C$ 为幺半范畴,
此时 $\mathcal C$ 的中心 (又称 Drinfeld 中心) $Z(\mathcal C)$ 是一个辫幺半范畴, 可理解为两个函子 $\mathcal C \rightrightarrows \operatorname{End}(\mathcal C)$ 的等化子, 其对象为 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 配备自然变换
$$
X\otimes (-) \to (-)\otimes X,
$$
满足两个自然变换 $X\otimes (Y\otimes Z)\to (Y\otimes Z)\otimes X$ 相等.
2-范畴的对象
定义 $2$-范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 的中心为幺半群
$$
Z(X) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}(\mathrm{id}_X).
$$
它类似于 $\mathcal C$ 在 $X$ 处的二阶环路空间.
由 Eckmann–Hilton 论证, $Z(X)$ 为 $\mathbb E_2$ 幺半群 (辫幺半群).
这样定义的中心又称 Hochschild 上同调.
性质
万有中心映射
群 $G$ 的中心到 $G$ 的典范映射
$$
Z(G)\to G
$$
是万有的中心映射.
共轭作用的不动点
群 $G$ 的中心是 $G$ 在自身上的共轭作用的不动点.
考虑下图.
$$
\begin{array}{ccccc}
G & \rightarrow & \operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) & \rightarrow & * \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
* & \underset{\mathrm{id}}{\rightarrow} & \operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G) & \underset{\mathrm{ev}_*}{\rightarrow} & \mathbf{B}G
\end{array}
$$
其右边方块与整个方块为拉回, 故左边方块为拉回. 左边的群同态 $G\to\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G)$ 为 $G$ 在自身上的共轭作用; 该同态的核为 $\Omega(\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G),\mathrm{id}) = Z(G)$.
与群作用, 模的关系
设群 $G$ 的中心为 $Z$, 考虑任意范畴中的 $G$-作用 $X$, 那么 $Z$ 不仅作用于 $X$ 上, 而且该作用为 $G$-等变作用 (甚至为中心作用). 这是因为, 由定义,
$$
Z = \operatorname{Aut}(\mathrm{id}_{\mathbf{B}G})
$$
作用于 $\mathrm{id}_{\mathbf{B}G}$ 上, 故作用于任何函子 $\mathbf{B}G\to\mathcal{C}$ 上.
推而广之, 对任意范畴 $\mathcal{C}$, 其中心
$$
Z(\mathcal{C})=\operatorname{Aut}(\mathrm{id}_{\mathcal{C}})
$$
中心作用于任何函子 $F\colon\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 上, 也即有群同态
$$
Z(\mathcal{C}) \to Z(\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})) \to Z(\operatorname{End}(F)).
$$
其中第二个箭头为 “取自然变换在 $F$ 上的分量”.
例
1-范畴语境
在 $1$-范畴语境中, 结合代数 $A$ 的中心是与所有元素交换的元素的集合
$$
Z(A) = \{a\in A | \forall b\in A, ab=ba\}.
$$
例如 $\mathsf{Set}$ 中的群 (或幺半群) $G$ 的中心即为 $G$ 中与所有元素交换的元素构成的子集.
中心不是子群的例子
生象群 $G$ 的中心不一定是 $G$ 的子群, 即典范映射 $Z(G)\to G$ 不一定是 $(-1)$-截断映射.
考虑 $G = \Omega S^2$, 映射
$$
Z(G) = \Omega_{\mathrm{id}}\operatorname{Aut}(S^2) \to \Omega S^2
$$
在基点处的纤维为 $\Omega_{\mathrm{id}}\operatorname{Aut}_*(S^2) \simeq \Omega^3 S^2$, 不是 $(-1)$-截断生象.
相关概念
余中心
中心化子