余中心 [余中心]

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定义

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Hochschild 同调 [Hochschild同调]

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观念

结合代数的 Hochschild 同调是其 “沿着流形 $S^1$ 的张量积”, 即 $S^1$ 上的分解同调. Hochschild 同调又叫 “迹”, “余中心”.

交换代数的 Hochschild 同调是其与生象 $S^1$ 的张量积.

定义

结合代数

设 $\mathcal C$ 为闭对称幺半范畴, $A$ 为 $\mathcal C$ 中的结合代数. 定义其 Hochschild 同调为 $$ \operatorname{HH}_*(A) := A \otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} A. $$ 这个定义的缺陷是它没能反映 Hochschild 同调的 $S^1$-对称性.

交换代数

当 $A$ 为交换代数时, 有 $$ \mathrm{HH}_*(A) = A\otimes_{A\otimes A}A = \operatorname{colim}_{S^1}^{\mathsf{CAlg}(\mathcal C)} A = A^{\otimes S^1}. $$ 有典范的态射 $$ A \to\mathrm {HH}^*(A), $$ 它是 $A$ 到 $S^1$-作用的交换代数的万有态射, 是交换代数的范畴中 $S^1$ 形状的常值图 $A$ 的余极限, 也是 $A\colon *\to \mathsf {CAlg}(\mathcal C)$ 沿 $*\to \mathbf{B}S^1$ 的左 Kan 扩张.

而这个余极限 $\operatorname{colim}_{S^1}^{\mathsf{CAlg}(\mathcal C)} A$ 由于 $S^1=*\sqcup_{*\sqcup *}*$, 可计算为 $$ \begin{aligned} \mathrm {HH}_*(A) &= \operatorname{colim}_* A \otimes_{\operatorname{colim}_{*\sqcup *}A}\operatorname{colim}_* A\\ & = A\otimes_{A\otimes A}A. \end{aligned} $$

记 $X = \operatorname{Spec} A$, 那么作为导出概形有 $$ \operatorname{Spec}(\operatorname{HH}_*(A)) = X\times_{X\times X} X = X^{S^1} = \mathcal LX, $$ 即为 $X$ 的自由环路空间 $\mathcal L X$.

范畴

紧生成范畴 $\mathcal C$ 的 Hochschild 同调可定义为如下单纯对象的几何实现:

性质

与 K-理论的关系

THH and TC are in practice computationally useful approximations to K

中心 [中心]

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定义

群

$\mathsf{Set}$ 中的群 (或幺半群) $G$ 的中心为 $G$ 中与所有元素交换的元素构成的子集: $$ Z(G) = \{g\in G | \forall h\in G, gh=hg\}. $$

对更一般的群 (如生象群) $G$, 定义 $$ Z(G) := \operatorname{Aut}_{\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)}(\mathrm{id}). $$ 换言之,

$Z(G) = \Omega^2(\mathsf{Ani}^\simeq,\mathbf{B}G)$ 为 $\mathsf{Ani}^\simeq$ (“生象的生象”) 在 $\mathbf{B}G$ 处的二重环路空间 (可见 $Z(G)$ 是个 $\mathbb E_2$-群);
$\mathbf{B}Z(G)$ 是 $\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)$ 在 $\mathrm{id}_{\mathbf{B}G}$ 处的连通分支.

一个生象 $A$ 的连通分支是 $A\to\tau_{\leq 0} A$ 的纤维. 此外, 两个群的逆环路空间之间 (作为不带点生象) 的映射空间满足 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G,\mathbf{B}H)\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}(\mathsf{Ani})}(G,H)/_{\mathrm{Ad}} H, $$ 即群同态的生象关于 $H$ 的共轭作用的商, 因此该定义也可等价地陈述如下. 考虑群 $G$ 的外自同构群 $$ \begin{aligned} \operatorname{Out}(G)&= \tau_{\leq 0} (\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\ & =\tau_{\leq 0}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G). \end{aligned} $$ 那么有短正合列 $$ \mathbf{B}Z(G) \to \mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G) $$ 以及纤维列 $$ \begin{aligned} \mathbf{B}Z(G) &\to \mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)\\ \to \mathbf{B}^2Z(G) &\to \mathbf{B}\mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \mathbf{B}\operatorname{Out}(G). \end{aligned} $$

环

固定交换环 $k$ 作为基环. 设 $A$ 为 $k$ 上的结合代数. $A$ 的中心是与所有元素交换的元素的集合 $$ Z(A) = \{a\in A | \forall b\in A, ab=ba\}, $$ 也是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模的自同态的集合 $$ Z(A) = \operatorname{End}_{\mathsf{BiMod}(A,A)}(A), $$ 也是等化子 $$ Z(A) = \operatorname{eq}\big( A\rightrightarrows \operatorname{Hom}_k(A,A) \big), $$ 其中两个映射分别为左乘与右乘.

回忆 Morita 范畴中, 结合代数 $A$ 的恒等态射即是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模. 因此, $A$ 的中心又可理解为 $$ Z(A) = \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Morita}}(A)}(\mathrm{id}). $$

进一步, Morita 范畴嵌入线性范畴的范畴, 从而结合代数 $A$ 的中心也可定义为 $$ Z(R) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Cat}}(\mathsf{Mod}(A))}(\mathrm{id}). $$

幺半范畴

设 $\mathcal C$ 为 $k$-线性幺半范畴, 定义 $\mathcal C$ 的 Drinfeld 中心 $Z(\mathcal C)$ 是一个辫幺半范畴, 可理解为两个函子 $\mathcal C \to \operatorname{Hom}_k(\mathcal C,\mathcal C)$ 的等化子, 其对象为 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 配备自然变换 $$ X\otimes (-) \to (-)\otimes X, $$ 满足两个自然变换 $X\otimes (Y\otimes Z)\to (Y\otimes Z)\otimes X$ 相等.

2-范畴的对象

定义 $2$-范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 的中心为幺半群 $$ Z(X) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}(\mathrm{id}_X). $$ 它类似于 $\mathcal C$ 在 $X$ 处的二阶环路空间. 由 Eckmann–Hilton 论证, $Z(X)$ 为 $\mathbb E_2$ 幺半群 (辫幺半群).

这样定义的中心又称 Hochschild 上同调.