Wiki. 迹 [迹]

定义

自映射的迹

对于对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中可对偶对象 $X$ 的自映射 $f\colon X\to X$, 定义迹 $\operatorname{Tr}(f)\in\operatorname{End}_{\mathcal C}(1)$, $$ \operatorname{Tr}(f): 1 \overset{\operatorname{coev}}{\to} X\otimes X^* \overset{f\otimes\mathrm{id}}{\to} X\otimes X^*\overset{\operatorname{ev}}{\to} 1. $$

对象 $X$ 的恒等映射的迹又叫 $X$ 的幺半维数 $$ \operatorname{dim}X := \operatorname{Tr}(\mathrm{id}_X). $$

考虑范畴 $$ \mathsf{End}_{\mathcal C} := \mathsf{Fun}(\mathbf{B}\mathbb{N},\mathcal C)= \{(X,f)\colon X\in\mathcal C, f\in\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)\}, $$ (其中 $\mathbf{B}\mathbb{N}$ 是 “游走的自同态”) 那么迹的构造升级为一个函子 $$ \operatorname{Tr}\colon \mathsf{End}_\mathcal C \to \operatorname{End}_{\mathcal C}(1). $$

对象的迹

例

当 $\mathcal C = \mathsf{Vect}_k$ 时, 有限维 $k$-线性空间 $V$ 的自映射的迹即是 $\operatorname{Tr}(f)\cdot \mathrm{id}_{k}$.