定义
自映射的迹
对于对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中可对偶对象 $X$ 的自映射 $f\colon X\to X$, 定义迹 $\operatorname{Tr}(f)\in\operatorname{End}_{\mathcal C}(1)$,
$$
\operatorname{Tr}(f):
1 \overset{\operatorname{coev}}{\to} X\otimes X^* \overset{f\otimes\mathrm{id}}{\to} X\otimes X^*\overset{\operatorname{ev}}{\to} 1.
$$
对象 $X$ 的恒等映射的迹又叫 $X$ 的幺半维数
$$
\operatorname{dim}X := \operatorname{Tr}(\mathrm{id}_X).
$$
考虑范畴
$$
\mathsf{End}_{\mathcal C} := \mathsf{Fun}(\mathbf{B}\mathbb{N},\mathcal C)= \{(X,f)\colon X\in\mathcal C, f\in\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)\},
$$
(其中 $\mathbf{B}\mathbb{N}$ 是 “游走的自同态”)
那么迹的构造升级为一个函子
$$
\operatorname{Tr}\colon \mathsf{End}_\mathcal C \to \operatorname{End}_{\mathcal C}(1).
$$
双模的迹
以下是前面定义的迹的一个常见特殊情形. 考虑对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数 $A\in\mathsf{Alg}(\mathcal C)$. 可将 $(A,A)$-双模 $M$ 视为 Morita 范畴 $\mathsf{Morita}(\mathcal C)$ 中 $A$ 的自同态, 从而取其迹:
$$
\operatorname{Tr}(A,M) = A\otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} M.
$$
特别地, $A$ 自身作为 $(A,A)$-双模的迹
$$
\operatorname{Tr}(A,A) = A\otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} A= \int_{S^1} A
$$
为 $A$ 的 Hochschild 同调.
例
当 $\mathcal C = \mathsf{Vect}_k$
时,
有限维 $k$-线性空间 $V$ 的自映射的迹即是 $\operatorname{Tr}(f)\cdot \mathrm{id}_{k}$.