Lie 代数的根系 (root system) 最早由 W. Killing 约 1889 年为了研究单 Lie 代数的分类提出.
注意区分根 (Lie 代数) (radical).
定义
Lie 代数的根系
设 Lie 代数 $\mathfrak g$ 有 Cartan 子代数 $\mathfrak h$, 称 $\operatorname{ad}\mathfrak h$ 在 $\mathfrak g$ 上的权为 $\mathfrak g$ 关于 $\mathfrak h$ 的根. 具体地, $\mathfrak g$ 关于 $\mathfrak h$ 的根 $\alpha\in\mathfrak h^*$ 满足存在 $X\in\mathfrak g$,
$$
[H,X]=\alpha(H)X,\,\forall H\in\mathfrak h.
$$
记根的集合为 $\Phi$.
对于复半单 Lie 代数, 根系给出了 Lie 代数的分解
$$
\mathfrak g = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} \mathfrak g_{\alpha},
$$
其中 $\mathfrak g_\alpha = \{X\in\mathfrak g\mid [H,X]=\alpha(H)X\,\forall H\in\mathfrak h\}$. 该分解具有如下性质.
- $\dim \mathfrak g_\alpha = 1$.
- $[\mathfrak g_\alpha,\mathfrak g_{\beta}]=\mathfrak g_{\alpha + \beta}$.
- 存在 $h_\alpha\in\mathfrak h$ 使得 $\mathfrak g_{\alpha}\oplus \mathbb{C} h_\alpha \oplus \mathfrak g_{-\alpha}$ 是同构于 $\mathfrak {sl}(2,\mathbb{C})$ 的子 Lie 代数.
Weyl 群 $W\subset GL(\mathfrak h^*)$ 由 $\{s_\alpha: \alpha\in\Phi\}$ 生成, 其中 $s_\alpha$ 是关于根 $\alpha$ 的正交补空间的反射.
注意到, 半单 Lie 代数的 Killing 形式 $B$ 满足
- 对 $\alpha,\beta\in\Phi\cup\{0\}$, 若 $\alpha+\beta\neq 0$, 则 $B(\mathfrak g_\alpha,\mathfrak g_\beta)=0$.
- $B$ 限制为 $\mathfrak h$ 上的非退化双线性型.
从而 $B$ 也给出 $\mathfrak h^*$ 上的一个非退化双线性型, 从而 Lie 代数的根系给出下文的抽象根系.
抽象根系
内积空间 $V$ 中的抽象根系是一个有限子集 $\Delta\subset V\setminus\{0\}$, 满足
- $\operatorname{span}\Delta = V$;
- 对任意 $\alpha\in\Delta$, 关于 $\alpha$ 的正交补空间的反射 $s_\alpha$ 将 $\Delta$ 变为自身;
- 对任意 $\alpha,\beta\in\Delta$, $\dfrac{2\langle\beta,\alpha\rangle}{|\alpha|^2}$ 为整数.
称其既约 (reduced) 是指 $\alpha\in\Delta\Rightarrow 2\alpha\notin\Delta$.
余根
抽象根系中, 根 $\alpha$ 的余根 (coroot) 定义为
$$
\alpha^\vee = \frac{2\alpha}{\langle\alpha,\alpha\rangle}.
$$
根数据
根数据
正性
任取 $V$ 作为向量空间的一组基, 以字典序规定正性: 称一个向量为正, 是指其第一个非零坐标为正.
我们事实上只需要正性满足如下条件: 两个正向量之和为正, 正向量乘以正数为正.
若一个正根无法表示为两个正根之和, 则称之为单根 (simple root).
Dynkin 图与 Cartan 矩阵
对于单根的系统 $\Pi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_l\}$ ($l=\dim V$), 整数矩阵
$$
A_{ij} = \frac{2 \langle \alpha_i , \alpha_j \rangle}{|\alpha_i|^2}
$$
称为 $\Pi$ 的 Cartan 矩阵. 它满足
- $A_{ii}=2$,
- $A_{ij}\leq 0$ ($i\neq j$).
对于单根的系统 $\Pi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_l\}$ ($l=\dim V$), 其 Dynkin 图是以这些单根为顶点的一个图, 两点 $\alpha_i,\alpha_j (i\neq j)$ 之间连的边数等于 $A_{ij}A_{ji}=\frac{4\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle^2}{|\alpha_i|^2|\alpha_j|^2}$. 令每个顶点 $\alpha_i$ 的权为 $|\alpha_i|^2$.
一个根系不可约当且仅当其 Dynkin 图连通.
例
$\mathfrak {sl}_3(\mathbb{C})$
$\mathfrak {sl}_3(\mathbb{C})$ 的 Cartan 子代数为 $\mathfrak h=\{\operatorname{diag}(h_1,h_2,h_3)\mid h_1+h_2+h_3=0\}$.
令 $e_i\in\mathfrak h^*$ 将 $\operatorname{diag}(h_1,h_2,h_3)$ 映射到 $h_i$. 那么 $e_1+e_2+e_3=0$, $\mathfrak {sl}_3$ 的一组单根为 $\alpha_1=e_1-e_2$, $\alpha_2=e_2-e_3$. 另一个根为 $\alpha_1+\alpha_2=e_1-e_3$.
根 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2$ 对应的根子空间分别为
$$
\operatorname{span}\begin{pmatrix}0&1&\\&0&\\&&0\end{pmatrix},\operatorname{span}\begin{pmatrix}0&&\\&0&1\\&&0\end{pmatrix},\operatorname{span}\begin{pmatrix}0&&1\\&0&\\&&0\end{pmatrix}.$$
正根和的一半为 $\rho = \alpha_1+\alpha_2$.
$\mathfrak {sl}_3$ 的 Killing 形式为 $B(X,Y)=6\operatorname{tr}(XY)$, 乘以一个常数, 使得 $\mathfrak h^*$ 上对应的内积满足 $\langle\alpha_1,\alpha_1\rangle = \langle\alpha_2,\alpha_2\rangle=2$. 此时 $\langle\alpha_1,\alpha_2\rangle = -1$.
$\mathfrak {so}_{2n}(\mathbb{C})$
$\mathfrak {so}(2n,\mathbb{C})$ 可视为 $\mathfrak {gl}(2n,\mathbb{C})$ 的子 Lie 代数 $\{y\in\mathfrak {gl}(2n,\mathbb{C}) \mid Ky+y^TK=0\}$, 其中 $K=\begin{pmatrix}0& I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$.
在这种描述中, 一个 Cartan 子代数为 $\mathfrak h=\{\operatorname{diag}(h_1,\cdots,h_n,-h_1,\cdots,-h_n)\}$.
令 $e_i\in\mathfrak h^*$ 将 $\operatorname{diag}(h_1,\cdots,h_n,-h_1,\cdots,-h_n)$ 映射到 $h_i$. 那么 $\mathfrak {so}(2n,\mathbb{C})$ 的根为 $\pm e_i \pm e_j$ (正负号独立选取). 其一组单根为 $e_1-e_2,e_2-e_3,\cdots,e_{n-1}-e_n,e_{n-1}+e_n$, Dynkin 图为 $D_n$.
相关概念
仿射根系