交换代数又称 $\mathbb E_\infty$-代数, 即交换算畴上的代数.
另见交换代数 (学科).
定义
使用语法范畴
积幺半范畴
在积幺半范畴中, 交换代数是交换幺半群的 Lawvere 理论的模型, 即其语法范畴为有限生成自由交换幺半群的范畴的对偶, 具体地:
- 其对象为有限集;
- 态射 $\{x_1,\cdots,x_n\}\to \{y_1,\cdots,y_m\}$ 为自然数的 $m\times n$ 矩阵; 等价地, 一个态射是 $\{y_1,\cdots,y_m\}$ 到 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 生成的自由交换幺半群的一个集合映射.
那么积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的交换代数即是上述范畴到 $\mathcal C$ 的保持有限积的函子.
另一种定义只需提供较少的信息. 考虑带基点有限集的范畴 $\mathsf{Fin}_*$ (这个范畴也等价于有限集与部分映射的范畴).
对于积幺半范畴 $\mathcal C$, 其中的交换代数可等价地定义为函子 $F\colon \mathsf{Fin}_* \to \mathcal C$, 满足
$$
F(n) \to \prod_{i=1}^n F(1)
$$
为等价. Lurie HA 本质上使用的是这种定义.
一般对称幺半范畴
一般的对称幺半范畴中, 交换代数可用 PROP 定义. 具体地, 考虑有限集的范畴 $\mathsf{Fin}$ 配备余积幺半结构. 对任意对称幺半范畴 $\mathcal C$, 其中的交换代数等同于对称幺半函子 $\mathsf{Fin} \to \mathcal C$.
性质
模范畴
在可表现的对称幺半范畴中, 交换代数 $A$ 的模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 仍为可表现的对称幺半范畴, 且其中的交换代数等同于 $A$ 出发的交换代数同态:
$$
\mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathcal C}(A)) \simeq \mathsf{CAlg}(\mathcal C)_{A/}.
$$