定义
设 $R$ 为 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次环, 记 $R_+ = \bigoplus_{n >0} R_n$.
注意到 $R$ 上的 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次相当于 $\operatorname{Spec}R$ 上的幺半群概形 $\mathbb A^1 = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[\mathbb{Z}_{\geq 0}]$ 的作用 (见分次代数), 其作用映射 $\operatorname{Spec}R\times\mathbb A^1\to\operatorname{Spec}R$ 对应的环同态 $R\to R[x]$ 将 $n$ 次齐次元素 $r$ 映射到 $rx^n$.
考虑 $0\in\mathbb A^1$ 在 $\operatorname{Spec}R$ 上的作用, 其对应的环同态 $R\to R$ 将所有正次数元素映射到 $0$, 而 $0$ 次元素不变, 故等于复合映射
$$
R \to R / R_+ \simeq R_0 \hookrightarrow R.
$$
定义分次环 $R$ 的射影谱 $\operatorname{Proj}R$ 如下.
通过拓扑与结构层定义
拓扑空间. 定义 $\operatorname{Proj}R$ 的底层拓扑空间为 $\operatorname{Spec}R$ 中由不包含 $R_+$ 的齐次素理想 (即由齐次元素生成的素理想) 构成的子集确定的子空间. 容易看到 $\operatorname{Proj}R$ 的一组拓扑基如下. 对 $f\in R$, 定义
$$
U_+(f) = \operatorname{Proj}(R) \cap U(f),
$$
那么 $U_+(f) = \bigcup_{i\geq 0} U_+(f_i)$,
进而射影谱 $\operatorname{Proj}R$ 的一个拓扑基由所有齐次元素 $f$ 对应的开集 $U_+(f)$ 给出.
结构层. 考虑环的满同态 $R\to R_0$ 对应的闭嵌入 $\operatorname{Spec}R_0 \to \operatorname{Spec}R$, 以及 $\operatorname{Spec}R$ 的开子空间
$$
\operatorname{Spec}^\circ R :=
\operatorname{Spec}R \setminus \operatorname{Spec}R_0=\bigcup_{f\in R_+} U(f).
$$
(其直观为去除 $\operatorname{Spec}R$ 上的 $\mathbb G_m$-作用的不动点, 从而可以对剩余部分取商.)
那么有典范的拓扑空间映射 $\pi\colon \operatorname{Spec}^\circ R \to \operatorname{Proj}R$, $\mathfrak{p} \mapsto \bigoplus_n (\mathfrak p \cap R_n)$ (其直观为取点的 $\mathbb G_m$-轨道的闭包); 且
$$
\pi^{-1}(U_+(f)) = U(f).
$$
考虑 $\operatorname{Proj}R$ 上的环层
$$
\pi_*\mathcal O_{\operatorname{Spec}^\circ R} \in \mathsf{Sh}(\operatorname{Proj}R,\mathsf{Ring}).
$$
那么对于齐次元素 $f\in R_+$, 有 $\pi_*\mathcal O_{\operatorname{Spec}^\circ R} (U_+ (f)) \simeq R_f$. 这给出 $\pi_*\mathcal O_{\operatorname{Spec}^\circ S}$ 上的一个 $\mathbb{Z}$-分次. 定义 $\mathcal O_{\operatorname{Proj}R}$ 为其零次部分
$$
\mathcal O_{\operatorname{Proj}R} := (\pi_*\mathcal O_{\operatorname{Spec}^\circ R})_0.
$$
由此有环化空间的映射 $\pi\colon \operatorname{Spec}^\circ R \to \operatorname{Proj}R$.
注意 $\mathcal O_{\operatorname{Proj}R}(U_+(f)) = R_{(f)} := (R_f)_0$. 这也正是 $\mathcal O_{\operatorname{Spec}^\circ R}(U_+(f))$ 中 $\mathbb G_m$-不变的元素
进一步, 可证明环化空间 $(U_+(f),\mathcal O_{\operatorname{Proj}R}|_{U_+(f)})$ 同构于仿射概形 $\operatorname{Spec}R_{(f)}$, 且在这个仿射概形上, $\pi$ 为仿射概形的映射 $\operatorname{Spec}R_f \to \operatorname{Spec}R_{(f)}$.
故 $\pi\colon \operatorname{Spec}^\circ R\to\operatorname{Proj}R$ 是概形的映射, 且为仿射态射.
注. 虽然 $\operatorname{Proj}R$ 的底层拓扑空间的定义是 $\operatorname{Spec}R$ 的一个子空间, 但这个含入映射 $\operatorname{Proj}R \to \operatorname{Spec}R$ 不是概形的映射.
通过叠定义
设 $R$ 为 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次环,
性质
拟凝聚层
见射影谱上的拟凝聚层.
理想与闭嵌入
命题. 设 $R$ 为 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次环, $I$ 为分次理想. 则同态 $R \to R / I$ 给出闭嵌入 $\operatorname{Proj}(R/I) \to \operatorname{Proj}R$, 且其对应的理想层为 $\widetilde {I}$.
函子性
设 $\phi\colon R \to R'$ 为 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次环的同态, 不一定有映射 $\operatorname{Proj}(R') \to \operatorname{Proj}(R)$, 但有定义在 $\operatorname{Proj}(R')$ 的一个开子概形
$$
U_+(\phi) := \bigcup_{f\in R_+} U_+(\phi(f)) \subset\operatorname{Proj}(R')
$$
上的 “部分映射” $U_+(\phi) \to \operatorname{Proj}(R)$.
例如, 设 $A\to B$ 为交换环同态, $S$ 为 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次 $A$-代数, 则有分次环同态 $\phi\colon S \to S\otimes_A B$. 此时 $U_+(\phi)$ 是整个 $\operatorname{Proj}(S\otimes_A B)$, 且有拉回图
$$
\begin{array}
{ccc}
\operatorname{Proj}(S\otimes_A B) & \to & \operatorname{Proj}(S)\\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname{Spec}B & \to & \operatorname{Spec}A.
\end{array}
$$
例
椭圆曲线
给定复数 $\lambda \in\mathbb{C} \setminus \{0,1\}$,
$$
X= \operatorname{Proj}\mathbb{C}[X,Y,Z]/(ZY^2 - X(X-Z)(X-\lambda Z))
$$
是一条椭圆曲线.
进一步, “让参数 $\lambda$ 动起来”, 用相对射影谱的构造, 可定义 $\mathbb A^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1\}$ 上的一族椭圆曲线.
Fermat 五次流形
超曲面
$$
\operatorname{Proj}\mathbb{C}[X_0,\cdots,X_4]/(X_0^5+\cdots +X_4^5)
$$
称为 Fermat 五次流形, 它也是 Calabi–丘流形的例子.
相关概念
相对射影谱