Wiki. 射影谱上的拟凝聚层 [射影谱上的拟凝聚层]

定义

设 $R$ 为 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次环, $M$ 为 $\mathbb{Z}$-分次 $R$-模. 考虑 $\operatorname{Spec}R$ 上的拟凝聚层 $\widetilde {M}$, 限制在 $\operatorname{Spec}R$ 的开子空间 $$ \operatorname{Spec}^\circ R := \operatorname{Spec}R \setminus \operatorname{Spec}R_0=\bigcup_{f\in R_+} U(f). $$ 常常假设 $R_+$ 由 $R_1$ 生成, 因而 $$ \operatorname{Spec}^\circ R = \bigcup_{f\in R_1} U_+(f). $$

有典范的拓扑空间映射 $\pi\colon \operatorname{Spec}^\circ R\to\operatorname{Proj}R$ (见射影谱). 定义射影谱上的拟凝聚层 $\widetilde {M}\in\mathsf{QCoh}(\operatorname{Proj}R)$ 为其推前的零次部分: $$ \widetilde {M} := \big[\pi_*(\widetilde {M}|_{\operatorname{Spec}^\circ R})\big]_0 \in \mathsf{QCoh}(\operatorname{Proj}R). $$

由构造, $$ \widetilde {M}|_{U_+(f)} \simeq \widetilde {M_{(f)}}\in\mathsf{QCoh}(U_+(f)), $$ 其中 $M_{(f)} := (M_f)_0$.

通过商叠

环 $S$ 上的分次相等于 $\operatorname{Spec}S$ 上的 $\mathbb G_m$-作用. 分次环 $S$ 上的 $\mathbb{Z}$-分次模相当于商叠 $\operatorname{Spec}S / \mathbb G_m$ 上的拟凝聚层.

… (todo)

例

分次环 $R$ 自身作为 $R$-模给出的 $\operatorname{Proj}R$ 上的拟凝聚层就是结构层 $\mathcal O_{\operatorname{Proj}R}$.

移位

对于 $\mathbb{Z}$-分次 $R$-模 $M$, 记 $M(n)$ 为如下 $\mathbb{Z}$-分次 $R$-模: 其底层 $R$-模为 $M$, 分次为 $M(n)_m = M_{n+m}$. 移位等同于与 $R(n)$ 作张量积: $M(n) = M \otimes_R R(n)$.

记 $R(n)$ 对应的 $\operatorname{Proj}R$ 上的拟凝聚层为 $$ \mathcal O(n) := \widetilde {R(n)}. $$

性质

假设 $R_+$ 由 $R_1$ 生成.

命题. 函子 $\mathsf{Mod}^{\mathrm{gr}}(R) \to \mathsf{QCoh}(\operatorname{Proj}R)$, $M\mapsto \widetilde {M}$ 为正合函子且保持余极限.

张量积

命题. 设 $M$, $N$ 为分次 $R$-模, 则有 $\mathsf{QCoh}(\operatorname{Proj}R)$ 中的同构 $$ \widetilde {M} \otimes_{\mathcal O} \widetilde N \simeq \widetilde {M\otimes_R N}. $$ 换言之, $M\mapsto \widetilde M$ 是对称幺半函子.

截面

命题. 函子 $\widetilde{(-)} \colon \mathsf{Mod}^{\mathrm{gr}}(R) \to \mathsf{Mod}(\mathcal O)$ 与 $\Gamma^{\mathrm{gr}}\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O)\to \mathsf{Mod}^{\mathrm{gr}}(R)$ 构成一对伴随 $\widetilde{(-)}\dashv\Gamma^{\mathrm{gr}}$.