Wiki. 分次代数 [分次代数]

分次代数是分成不同次数的 “齐次” 部分之和的结合代数, 齐次元素的乘积的次数是次数的和.

次数也可取值于一般的幺半群.

定义

固定基环 $k$, 设 $M$ 为幺半群, 通常 $M = \mathbb{Z}$.

定义 $k$ 上的 $M$-分次代数为 $k$-代数 $A$ 带有底层 $k$-模的分解 $$ A = \bigoplus_{m\in M} A_m, $$ 其中 $A_m$ 的元素称为 $m$ 次的齐次元素, 满足齐次元素的乘积仍为齐次元素, 即乘法映射将 $A_m \times A_{m'}$ 映射到 $A_{mm'}$.

余模结构

设 $M$ 为交换幺半群.

回忆幺半群代数 $k[M]$ 的双代数结构. 注意到自由 $k$-模函子 $$ k[-]\colon (\mathsf{Set},\times) \to (\mathsf{Mod}(k),\otimes) $$ 为对称幺半函子, 故将 $(\mathsf{Set},\times)$ 中的交换余交换双代数 $M$ 对应到 $\mathsf{Mod}(k)$ 中的交换余交换双代数 $k[M]$, 即 $\mathsf{CAlg}(k)$ 中的余交换余代数.

现在, 容易验证 $k$ 上的交换代数 $A$ 上的 $M$-分次结构等同于 $\mathsf{CAlg}(k)$ 中的余代数 $k[M]$ 上的一个余模结构 $$ A \to A[M] := A \otimes_k k[M], $$ 将 $m$ 次齐次元素 $a$ 映射到 $a \otimes m$. 其构成代数同态的条件恰好表明齐次元素的乘积的次数是各自次数的和.

对偶地, $\operatorname{Spec}k[M]$ 是仿射概形范畴中的交换幺半群, $A$ 上的 $M$-分次也等同于 $k$-概形 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\operatorname{Spec}k[M]$-作用.

性质