Wiki. 双代数 [双代数]

定义

幺半范畴 $\mathcal C$ 中的双代数是其结合代数范畴中的结合余代数, 也是其结合余代数范畴中的结合代数.

传统定义

对称幺半 $1$-范畴中的双代数 (bialgebra) $(A,m,\eta,\epsilon,\Delta)$ 是对象 $A$ 配备如下资料,

• 乘法 $m\colon A\otimes A \to A$,
• 单位 $\eta\colon 1 \to A$ ($1$ 为幺半范畴的单位),
• 余单位 $\epsilon\colon A\to 1$,
• 余乘法 $\Delta\colon A\to A\otimes A$,

满足

• $(A,m,\eta)$ 为结合代数,
• $(A,\Delta,\epsilon)$ 为结合余代数,
• $\Delta,\epsilon$ 均为结合代数的同态,
• $m,\eta$ 均为结合余代数的同态.

性质

模范畴

对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中, 双代数 $A$ 上的 (左) 模范畴具有幺半范畴结构, 两个 $A$-模的张量积上的 $A$-模结构为 $$ \begin{aligned} A\otimes M\otimes N &\overset{\Delta}{\to} A\otimes A\otimes M \otimes N \\&\to A\otimes M\otimes A\otimes N \\&\to M\otimes N. \end{aligned} $$ 抽象地看, 这是由于 $\mathsf{Mod}(-)\colon \mathsf{Alg}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 为松幺半函子, 故将 $\mathsf{Alg}^{\mathrm{op}}$ 中的代数 $A$ 变为 $\mathsf{Cat}$ 中的代数; $\mathsf{Mod}(A)$ 上的幺半结构为 $$ \mathsf{Mod}(A)\times\mathsf{Mod}(A)\overset{\otimes}{\to}\mathsf{Mod}(A\otimes A) \overset{\Delta^*}{\to}\mathsf{Mod}(A). $$