观念
链复形是线性稳定同伦类的表现.
定义
Abel 范畴
Abel 范畴 $\mathcal A$ 中的链复形是一列对象与映射
$$
\cdots \overset{d}{\to} C_i \overset{d}{\to} C_{i-1} \overset{d}{\to} \cdots,
$$
满足 $d\circ d = 0$.
链复形之间的态射即是这种形状的图之间的自然变换.
链复形之间诱导所有同调的同构的态射称为拟同构.
一般范畴
参考 HA 1.2.2 节.
设范畴 $\mathcal C$ 具有零对象 $0$. 考虑一个全序集 $\mathcal J$, 视为范畴; 记 $\mathcal J^{\to}$ 为其箭头范畴. 定义 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal J$-链复形为如下资料:
- 函子 $F\colon \mathcal J^{\to} \to \mathcal C$;
- 对任意 $i\in\mathcal J$, $F(i,i)=0$;
- 对任意 $i\leq j\leq k$, 下图为推出方块.
$$
\begin{array}
{ccc}
F(i,j) & \to & F(i,k) \\
\downarrow & & \downarrow \\
F(j,j) & \to & F(j,k).
\end{array}
$$
记 $\mathsf{Gap}(\mathcal J,\mathcal C)$ 为 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal J$-链复形的范畴构成的 $\mathsf{Fun}(\mathcal J^{\to},\mathcal C)$ 的全子范畴.
全序集有最小元的情形
注意到, 当 $\mathcal J$ 有最小元 $-\infty$ 时, 由于有推出方块
$$
\begin{array}
{ccc}
F(-\infty,j) & \to & F(-\infty,k) \\
\downarrow & & \downarrow \\
F(j,j)=0 & \to & F(j,k),
\end{array}
$$
也即 $F(j,k)$ 能写成余纤维
$$
F(j,k) = \operatorname{cofib}(F(-\infty,j)\to F(-\infty,k)),
$$
故一个 $\mathcal J$-链复形 $F$ 完全由函子 $F(-\infty,-)\colon \mathcal J\backslash \{-\infty\}\to\mathcal C$ 决定. 事实上, 上述推出方块的条件表明 $F$ 可由其在子范畴
$$
\{(i,j)\mid i=-\infty \lor i=j\}
$$
上的限制通过左 Kan 扩张复原出来, 而其中 $i=j$ 的部分的值已经规定为 $0$, 所以 $F$ 的信息本质上只有一个函子 $F(-\infty,-)\colon \mathcal J\backslash \{-\infty\} \to \mathcal C$, 并且对这个函子没有任何其它要求, 也即有等价
$$
\mathsf{Gap}(\mathcal J,\mathcal C) \simeq \mathsf{Fun}(\mathcal J\backslash\{-\infty\},\mathcal C).
$$
特别地, 当 $\mathcal J\backslash\{-\infty\} = (\mathbb{Z},\leq)$ 时, $\mathcal J$-链复形等同于 $\mathcal C$ 中的滤对象 $(\mathbb{Z},\leq) \to \mathcal C$, 链复形的每一项是滤对象的一个余纤维.
稳定范畴的情形
设 $\mathcal C$ 是稳定范畴, $F$ 是 $\mathcal J$-链复形. 由于余纤维列等同于纤维列, 从而有同伦群的长正合列
$$
\begin{aligned}
\cdots&\to\pi_n X(i,j) \to \pi_n X(i,k) \to \pi_n F(j,k) \\
&\to \pi_{n-1} X(i,j) \to\cdots
\end{aligned}
$$
定义谱序列的第一页: 对于 $p,q\in\mathbb{Z}$,
$$
E_1^{p,q} = \pi_{p+q} X(p-1,p),
$$
定义
$$
d_1\colon E_1^{p,q} \to E_1^{p-1,q}
$$
就是前述长正合列中的同态
$$
\delta\colon \pi_{p+q} X(p-1,p) \to \pi_{p+q-1} X(p-2,p-1).
$$