链复形与滤对象 [ch-fil]

设 $\mathcal C$ 为稳定范畴, $F_\bullet$ 为其中的滤对象, 其分次对象为 $$ \operatorname{gr}_nF := \operatorname{cofib}(F_{n-1} \to F_n). $$ 那么有映射 $$ \operatorname{gr}_nF \to F_{n-1} [1], $$ 上述所有映射可以连成一个图:

现设 $F_{\bullet\bullet}$ 为双重滤对象, 即滤对象中的滤对象, 也即函子 $(\mathbb{Z},\leq)^2\to\mathcal C$. 其对应的双分次对象来自全余纤维 (total cofiber) $$ \operatorname{gr}_{p,q}F := \operatorname{totcofib} \Bigg( {\begin{array}{ccc} F_{p-1,q-1} & \rightarrow & F_{p,q-1} \\ \downarrow & & \downarrow \\ F_{p-1,q} & \rightarrow & F_{p,q} \end{array}} \Bigg). $$ 同时双分次对象也可以累次计算: 若将 $F$ 视为滤对象中的滤对象 $\tilde F\colon \mathbb{Z}\to\mathsf{Fun}(\mathbb{Z},\mathcal C)$, 则 $$ \operatorname{gr}_{p,q}F = \operatorname{gr}_p\operatorname{gr}_q \tilde F. $$