定义 (特殊三角) 范畴 $\mathcal C$ 中的特殊三角 (distinguished triangle) 是指下图, $$ \begin{array}{ccccc} X & \rightarrow & Y & \rightarrow & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \rightarrow & Z & \rightarrow & X[1] \end{array} $$ 其中两个方块均为推出 (从而整个长方形也是推出).

定理 (Lurie 定理 1.1.2.14). 设 $\mathcal C$ 为稳定范畴, 则同伦范畴 $h\mathcal C$ 为三角范畴.

我们验证八面体公理.

$$ \begin{array}{ccccccccc} X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z & \rightarrow & 0 & & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \rightarrow & Y/X & \rightarrow & Z/X & \rightarrow & X[1] & \rightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 0 & \rightarrow & Z/Y & \rightarrow & Y[1] & \rightarrow & (Y/X)[1] \end{array} $$

设 $\mathcal A$ 为 Abel 范畴.

导出范畴的泛性质

命题 (Lurie HA 定理 1.3.3.2). 设 $\mathcal A$ 为 Abel 范畴, 其中投射对象充足. 对任意带有左完备 t-结构的稳定范畴 $\mathcal C$, 右正合函子 $\mathcal A \to \mathcal C^{\heartsuit}$ 可唯一地延拓为右 t-正合函子 $\mathsf{D}^-(\mathcal A)\to \mathcal C$. 换言之, 导出范畴 $\mathsf{D}^-(\mathcal A)$ 是万有的以 $\mathcal A$ 为心的稳定范畴.

例. 对于两个如上的 Abel 范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 右正合函子 $f\colon \mathcal A\to\mathcal B$ 唯一地延拓为右 t-正合函子 $f\colon \mathsf{D}^-(\mathcal A) \to \mathsf{D}^-(\mathcal B)$, 这便是 $f$ 的导出函子.

例. 谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 的心是 Abel 群的范畴 $\mathsf{Ab}$; 于是有右 t-正合函子 $\mathsf{D}^-(\mathsf{Ab}) \to \mathsf{Sp}$, 将 Abel 群链复形映射为对应的谱; 这称为广义 Eilenberg–Maclane 谱.