讲义. 导出范畴 [homalg-2-der-cat]

设 $\mathcal A$ 为 Abel 范畴.

导出范畴的泛性质

命题 (Lurie HA 定理 1.3.3.2). 设 $\mathcal A$ 为 Abel 范畴, 其中投射对象充足. 对任意带有左完备 t-结构的稳定范畴 $\mathcal C$, 右正合函子 $\mathcal A \to \mathcal C^{\heartsuit}$ 可唯一地延拓为右 t-正合函子 $\mathsf{D}^-(\mathcal A)\to \mathcal C$. 换言之, 导出范畴 $\mathsf{D}^-(\mathcal A)$ 是万有的以 $\mathcal A$ 为心的稳定范畴.

例. 对于两个如上的 Abel 范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 右正合函子 $f\colon \mathcal A\to\mathcal B$ 唯一地延拓为右 t-正合函子 $f\colon \mathsf{D}^-(\mathcal A) \to \mathsf{D}^-(\mathcal B)$, 这便是 $f$ 的导出函子.

例. 谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 的心是 Abel 群的范畴 $\mathsf{Ab}$; 于是有右 t-正合函子 $\mathsf{D}^-(\mathsf{Ab}) \to \mathsf{Sp}$, 将 Abel 群链复形映射为对应的谱; 这称为广义 Eilenberg–Maclane 谱.