局部化 (环) [局部化]

观念

环 (结合代数) 的局部化是使其中某些元素成为可逆元的万有的方法.

在几何侧, 局部化将环的谱变成原来的一个子空间.

另见局部化 (范畴论), Bousfield 局部化 (稳定同伦论).

定义

设 $A$ 为环, $S\subset A$ 为子集. 定义 $A$ 关于 $S$ 的局部化 $A\to A[S^{-1}]$ (也记作 $S^{-1}A$) 为满足如下条件的环同态:

• 对任意环同态 $\varphi\colon A \to B$, 若 $\varphi(S)\subset B^\times$, 即 $\varphi$ 将 $S$ 的元素映射到 $B$ 的可逆元, 则 $\varphi$ 唯一地穿过 $A\to A[S^{-1}]$.

素理想

设 $\mathfrak p\subset A$ 为素理想. 定义 $A$ 在 $\mathfrak p$ 处的局部化为 $A$ 关于 $\mathfrak p$ 之外的元素的局部化: $$ A_{\mathfrak p} := A [(A\setminus\mathfrak p)^{-1}]. $$

注意此处的记号稍有混淆.

性质

分式计算

当子集 $S$ 是乘性 (multiplicative) 子集, 即关于 $A$ 中的乘法封闭时, $A[S^{-1}]$ 的元素有如下具体表达式: $$ A[S^{-1}] = \Big\{ \frac{a}{s} \Bigm| a\in A, s\in S \Big\} / \sim, $$ 其中等价关系 $\sim$ 为 $$ \frac{a}{s}\sim \frac{a'}{s'}\Leftrightarrow \exists t\in S\, t(as'-a's) = 0. $$

素理想

$A[S^{-1}]$ 的素理想等同于 $A$ 中与 $S$ 不相交的素理想.

例如, $A_{\mathfrak p}$ 的素理想等同于 $A$ 中包含于 $\mathfrak p$ 的素理想. (而 $A/\mathfrak p$ 的素理想等同于 $A$ 中包含 $\mathfrak p$ 的素理想.)

正合性

命题. 对于交换环 $A$ 的乘性子集 $S$, 局部化函子 $S^{-1}(-) = S^{-1}A\otimes (-)\colon \mathsf{Mod}(A)\to \mathsf{Mod}(A)$ 正合, 即 $S^{-1}A$ 为平坦 $A$-模.

这是因为 $$ S^{-1}A=\operatorname{colim}_{s\in S}\frac{1}{s}A, $$ 而平坦模的滤余极限是平坦模.

单射

命题. 同态 $A \to A[S^{-1}]$ 为单射当且仅当 $S$ 不含零因子.