观念
在范畴论中, 局部化是一种万有的使一些态射变得可逆的方法.
另见局部化 (环), Bousfield 局部化 (稳定同伦论), 自反子范畴 (又叫自反局部化).
定义
设 $\mathcal{C}$ 为范畴, $S$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族态射 ($S$ 往往是一个宽子范畴). 定义 $\mathcal C$ 关于 $S$ 的局部化为满足如下条件的范畴 $\mathcal C[S^{-1}]$ 配备函子 $\mathcal C \to \mathcal C[S^{-1}]$:
- 对任意函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 若 $F$ 将 $S$ 中的每个态射变为同构, 则 $F$ 唯一地穿过 $\mathcal C \to \mathcal C[S^{-1}]$, 即存在唯一的 $\mathcal C[S^{-1}] \to \mathcal D$ 以及交换图
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal C & \rightarrow & \mathcal C[S^{-1}] \\
& \searrow & \downarrow \\
& & \mathcal D.
\end{array}
$$
换言之,
- 对任意范畴 $\mathcal D$, 记 $\mathsf{Fun}^S(\mathcal C,\mathcal D)$ 为将 $S$ 的态射全变为同构的函子构成的全子范畴, 则
$$
\mathsf{Fun}^S(\mathcal C,\mathcal D) \simeq \mathsf{Fun}(\mathcal C [S^{-1}],\mathcal D).
$$
等价地, 可定义 $\mathcal C[S^{-1}]$ 为范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的如下推出,
$$
\begin{array}{ccc}
\bigsqcup_S \{\cdot\to\cdot\} & \rightarrow & \bigsqcup_S \{\cdot\leftrightarrow\cdot\} \\
\downarrow & & \downarrow \\
\mathcal C & \rightarrow & \mathcal C[S^{-1}]
\end{array}
$$
其中 $\{\cdot\to\cdot\}$ 是游走的箭头.
例
自反子范畴
自反子范畴 $\mathcal D\hookrightarrow\mathcal C$ 是一个局部化: 记其左伴随为 $L\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 取 $S$ 为所有被 $L$ 变为同构的态射构成的类.
对全体态射局部化
范畴 $\mathcal C$ 对全体态射作局部化, 会得到一个生象
$$
|\mathcal C| := \mathcal C [\mathcal C^{-1}],
$$
这个操作是嵌入 $\mathsf{Ani} \to \mathsf{Cat}$ 的左伴随: 对任意生象 $A$,
$$
\mathsf{Fun}(\mathcal C,A)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(|\mathcal C|,A).
$$