观念
在范畴论中, 局部化是一种万有的使一些态射变得可逆的方法.
另见局部化 (环), Bousfield 局部化 (稳定同伦论).
定义
设 $\mathcal{C}$ 为范畴, $S$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族态射. 定义 $\mathcal C$ 关于 $S$ 的局部化为满足如下条件的范畴 $\mathcal C[S^{-1}]$ 配备函子 $\mathcal C \to \mathcal C[S^{-1}]$:
- 对任意函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 若 $F$ 将 $S$ 中的每个态射变为同构, 则 $F$ 唯一地穿过 $\mathcal C \to \mathcal C[S^{-1}]$, 即存在唯一的 $\mathcal C[S^{-1}] \to \mathcal D$ 以及交换图
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal C & \rightarrow & \mathcal C[S^{-1}] \\
& \searrow & \downarrow \\
& & \mathcal D.
\end{array}
$$
等价地, 可定义 $\mathcal C[S^{-1}]$ 为范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的如下推出,
$$
\begin{array}{ccc}
\bigsqcup_S \{\cdot\to\cdot\} & \rightarrow & \bigsqcup_S \{\cdot\leftrightarrow\cdot\} \\
\downarrow & & \downarrow \\
\mathcal C & \rightarrow & \mathcal C[S^{-1}]
\end{array}
$$
其中 $\{\cdot\to\cdot\}$ 是游走的箭头.