拉回 (范畴论) [拉回]

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定义

在一个范畴中, 拉回 (pullback) 一般是指以如下范畴为指标范畴的极限: $$ \begin{array} {ccc} &&\bullet\\ &&\downarrow\\ \bullet & \to &\bullet \end{array} $$ “多个对象指向一个对象” 的指标范畴的极限也可称为拉回. 对偶的操作称为推出.

另见拉回 (纤维范畴).

性质

在具有有限极限的范畴 $\mathcal C$ 中, 沿态射 $f\colon X\to Y$ 拉回给出俯范畴之间的函子 $$ f^*\colon \mathcal C_{/Y} \to \mathcal C_{/X}; $$ 这个函子总有左伴随 $f_!\colon \mathcal C_{/X} \to \mathcal C_{/Y}$, $(W\to X) \mapsto (W\to X\overset{f}{\to} Y)$.

在局部积闭范畴中, 拉回还有右伴随 $f_*\colon \mathcal C_{/X} \to \mathcal C_{/Y}$, 见依值积.

例

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Descartes 自然变换 [Descartes自然变换]

定义

Descartes 自然变换是指每个自然性方块都是拉回的自然变换.

例

多项式函子

多项式函子之间的 Descartes 自然变换有如下形状: 考虑交换图 $$ \begin{CD} I @<{s}<< E @>{p}>> B @>{t}>> J \\ @| @VfVV @VVgV @| \\ I @<<{s'}< E' @>>{p'}> B' @>>{t'}> J, \end{CD} $$ 其中方块 $$ \begin{CD} E @>{p}>> B \\ @VfVV @VVgV \\ E' @>>{p'}> B' \end{CD} $$ 是拉回, 则有自然变换 $$ \begin{aligned} t_!p_*s^* &= t'_!g_!p_*f^*(s')^*\\ &= t'_! g_! g^* p'_* (s')^* \,(\star)\\ &\to t'_!p'_*(s')^*, \end{aligned} $$ 其中 $(\star)$ 是 Beck–Chevalley 基变换.

直观上, $p\colon E\to B$ 的纤维是多项式的 “次数”, 而 $B$ 中有多项式的每个 “系数”. 多项式函子之间的 Descartes 自然变换就是变系数而不变次数的变换.

例. 对任意态射 $f\colon A\to B$, 乘法函子之间的自然变换 $A\times X \to B\times X$ 是 Descartes 自然变换. 这来自如下交换图. $$ \begin{CD} 1 @<<< A @= A @>>> 1 \\ @| @VfVV @VVfV @| \\ 1 @<<< B @= B @>>> 1 \end{CD} $$

Fourier–Mukai 变换 [Fourier--向井变换]

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Fourier–Mukai (向井) 变换是某些层范畴 (如凝聚层的导出范畴) 之间的函子 $D(X)\to D(Y)$, 它是通过核对象 $K\in D(X\times Y)$ 构造的 “积分变换” (拉-推).

许多基本的函子, 如直像与逆像, 都具有这种形式.

向井茂于 1981 年最早使用这种变换研究 Abel 簇与其对偶上的凝聚层的导出范畴的等价性, 这类似于 Fourier 变换建立了向量空间与其对偶空间上分布的同构.

定义

设 $X,Y$ 是光滑代数簇. 对于 $P \in D^b(X\times Y)$, 有函子 $\Phi_P\colon D^b(X)\to D^b(Y)$, $$ \mathcal E \mapsto p_*(P \otimes q^*\mathcal E). $$ (省略了所有导出记号.)

投影映射是平坦的, 也即 $q^*$ 没有导出. 若 $P$ 局部自由, 则 $p_*$ 也没有导出.

例

恒等

对于对角线层 $\Delta\colon X\to X\times X$, $P=\mathcal O_\Delta$ 对应 $\operatorname{id}$.

$$ \begin{aligned} \Phi_{\mathcal O_\Delta}(\mathcal E) & \simeq p_*(\Delta_* \mathcal O_X \otimes q^*\mathcal E)\\ & \simeq p_* \Delta_* (\Delta^* q^*\mathcal E \otimes\mathcal O_X). \end{aligned} $$ 这里使用了投影公式, $$ Rf_*(\mathcal F^\bullet) \otimes^L \mathcal E \simeq Rf_* (\mathcal F^\bullet \otimes^L Lf^*\mathcal E). $$

前推与拉回

对于 $f\colon X\to Y$ 的 “图像” $\iota \colon X\to X\times Y$, $\Gamma_f := \iota_*\mathcal O_X$, 两个方向的 Fourier–向井变换分别是直像 $f_*$ 和逆像 $f^*$.

一族连续变化的层

设 $P\in D^b(X\times Y)$ 在 $X$ 上凝聚平坦 (coherent flat). (想象 $Y$ 为参数, $P_x$ 是 $P_{x_0}$ 的形变)

(待补充)

小平–Spencer 映射

(待补充) $$ T_{x_0}X \to \operatorname{Ext}^1(P_{x_0},P_{x_0}) $$ 注意 $T_{x_0}X$ 同构于 $\operatorname{Ext}^1(k(x_0),k(x_0))$.

性质

定理. Fourier–向井变换有左右伴随, 且均为 Fourier–向井变换.

对 $P\in D^b(X\times Y)$, 定义 $P_L = P^\vee \otimes p^* \omega_Y[\dim Y]$ ($p\colon X\times Y\to Y$ 为投影), $P_R = P^\vee \otimes q^*\omega_X [\dim X] \in D^b(Y\times X)$. 参见 Serre 对偶.

定理. 两个 Fourier–向井变换的复合也是 Fourier–向井变换.

对 $P\in D^b(X\times Y)$, $Q\in D^b(Y\times Z)$, 定义 $R\in D^b(X\times Z)$ 如下. $$ R = (\pi_{XZ})_* ((\pi_{XY})^*P \otimes (\pi_{YZ})^* Q). $$ 其中 $\pi_{XZ}$ 是 $X\times Y\times Z$ 到 $X\times Z$ 的投影, 等等.

如下是 Fourier–向井变换是全忠实函子的判定.

定理设 $X,Y$ 是特征 $0$ 的代数闭域 $k$ 上的光滑射影簇, $P\in D^b(X\times Y)$. Fourier–向井变换 $\Phi$ 是全忠实函子当且仅当对任意闭点 $x,y\in X$, $$ \operatorname{Hom}(\Phi_P(k(x)),\Phi_P(k(y))[i])= \begin{cases} k, & x=y,i=0\\ 0, & x\neq y\text{ or }i<0 \text{ or }i>\dim X. \end{cases} $$

K-理论版本

$\mathcal F^\bullet \in D^b(X)$ 对应 $X$ 的 K-群 (拓扑)中的元素 $[\mathcal F^\bullet]:=\sum (-1)^i[\mathcal F^i] \in K(X)$.

命题. $[\mathcal F^\bullet] = \sum (-1)^i [\mathcal H^i (\mathcal F^\bullet)]$.

定义紧支集直像 $f_! \mathcal F := \sum (-1)^i [R^i f_*\mathcal F]$.

K-理论版本的 Fourier–向井变换定义如下. 对 $e\in K(X\times Y)$, $$ \Phi^K_e \colon f\mapsto p_!(e\otimes q^* f). $$

上同调版本

对于 $f\colon X\to Y$, 有 $f_*\colon H^*(X;\mathbb{Q}) \to H^{*+2\dim Y - 2\dim X}(Y;\mathbb{Q})$, 满足投影公式 $$ f_*(f^*\alpha \cdot \beta) = \alpha \cdot f_*\beta. $$ 定义 $\Phi^H\colon H^*(X;\mathbb{Q}) \to H^*(Y;\mathbb{Q})$, $$ \Phi^H\colon \beta\mapsto p_*(\alpha \cdot q^* \beta). $$

陈特征是从 K-群 (拓扑)到上同调的函子, 可联系 K-理论和上同调两个版本的 Fouier–向井变换. 两者的关系涉及 Todd 类: 设 $e\in K(X\times Y)$, 则 $$ \Phi^H_{v(e)} (\operatorname{ch}(f)\sqrt{\operatorname{td}X}) = \operatorname{ch}(\Phi^K_e(f)) \sqrt{\operatorname{td}Y}. $$ 其中 $v(e) = \operatorname{ch}(e)\sqrt{\operatorname{td}X} \in H^*(X;\mathbb{Q})$ 称为 Fourier–向井向量.

证明. $$ \begin{array} {ccccccc} K(X) & \to & K(X\times Y) & \to & K(X\times Y) & \to & K(Y)\\ \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow\\ H^*(X) & \to & H^*(X\times Y) & \to & H^*(X\times Y) & \to & H^*(Y) \end{array} $$ 中间方块交换是由于 Grothendieck–Riemann–Roch 定理.

Giraud 公理 [Giraud公理]

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观念

据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.

陈述

称 $\infty$-范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:

$\mathcal C$ 为可表现范畴;
$\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
$\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
$\mathcal C$ 中的群胚对象均有效, 即等价于商映射的 Čech 脉.

Goodwillie 演算 [Goodwillie演算]

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观念

微积分研究一个函数在自变量经历微小改变时函数的变化. Goodwillie 提出对一类函子做类似的事情. 这类函子的自变量是空间 (生象), 而生象 $X$ 经历的 “微小的改变” 指的是一个连通性较高的映射 $Y\to X$.

两个连通性较高的映射的复合, 其连通性仍较高. 具体而言, $n$-连通映射复合 $m$-连通映射至少是 $\operatorname{min}(n,m)$-连通的.

纬悬操作提升空间的连通性, 不断作纬悬会让空间越来越 “小”, 直至趋于可缩. 类似地, 纬悬也会提升一个映射的连通性: 对于映射 $Y\to X$, 其纬悬 $\Sigma Y\to \Sigma X$ 的连通性总是提升.

相应地, 取环路空间的操作会降低连通性. 如果纬悬像是微积分中乘以一个小量, 那么环路空间就像是除以这个小量.

同伦论	微积分
带基点空间	形式幂级数环 $k[\![x]\!]$
圆圈 $S^1$	$x$
纬悬	乘以 $x$
环路空间	除以 $x$
带基点连通空间	理想 $x k[\![x]\!]$
带基点 $n$-连通空间	理想 $x^n k[\![x]\!]$

回忆 Blakers–Massey 定理, 考虑 $\mathsf{Ani}$ 中的如下推出图, $$ \begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{g}VV @VVV \\ C @>>> D \end{CD} $$ 若 $f$ 是 $m$-连通映射, $g$ 是 $n$-连通映射, 则 $$ A \to B\times_D C $$ 是 $(m+n)$-连通映射. 这可以理解为在一个小邻域内, 推出近乎于拉回.

几何 (带结构的意象) [geometry-DAGV]

笔记
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本页介绍 Lurie 的 DAG V 描绘的 “几何” 图景. 加入了一些个人的见解.

几何学的各个分支研究的经典概形, Deligne–Mumford 叠, 流形, 复解析流形, 导出概形等等不同几何对象, 都可以描述为某种带结构的意象 $(\mathcal X,\mathcal O_{\mathcal X})$, 类比于局部环化空间. 从范畴逻辑的角度, 这里的结构 $\mathcal O_{\mathcal X}$ 可以理解为一种本质代数结构加上一些 “局部性” (见后文). 同时, 这些结构可用分类意象描述: 一个结构就是一个意象态射 $\mathcal X \to \mathcal K$. 每种结构就是一种几何.

结构层

意象上的层

所谓 “带结构的空间” 就是一个意象带有其上的一个带结构的层. (这里, 意象 $\mathcal X$ 上的层就是指范畴 $\mathcal X$ 的对象.)

设 $\mathcal X$ 为意象, $\mathcal C$ 为范畴, 我们定义 $\mathcal X$ 上的 $\mathcal C$-值层为保持极限的函子 $$ \mathcal X^{\mathrm{op}} \to \mathcal C. $$ 记其构成的范畴为 $\mathsf{Sh}_{\mathcal C}(\mathcal X)$. 该定义囊括了几乎所有几何分支中结构层 (structure sheaves) 的概念, 如拓扑空间上的环层, Deligne–Mumford 叠上的拟凝聚层, 光滑流形上的光滑函数层, 等等等等.

上述的意象上的层的概念与景上的层的概念是相容的, 即一个景上的层等同于其表现的意象上的层 (DAG5 1.1.12).

当 $\mathcal C$ 为可表现范畴时还有 $$ \mathsf{Sh}_{\mathcal C}(\mathcal X) \simeq \mathcal C\otimes\mathcal X. $$

环层

为了引出几何的概念, 先考虑环层, 即 $\mathcal C = \mathsf{Ring}$. 大家关心的例子基本上都是由此稍稍改动得来. 我们知道意象 $\mathcal X$ 上的环层也就是环的理论在范畴 $\mathcal X$ 中的模型, 也就是环的语法范畴到 $\mathcal X$ 的保持有限极限的函子. 有另一种不用逻辑术语的方法表述这件事, 那就是使用环的范畴等于有限表现环的范畴的 ind-对象的范畴 $\mathsf{Ring} =\mathsf{Ind}(\mathsf{Ring}_{\mathrm{fp}})$ 即自由滤余完备化.

设小范畴 $\mathcal G$ 具有有限极限, $\mathcal C = \mathsf{Ind}(\mathcal G^{\mathrm{op}}) = \mathsf{Pro}(\mathcal G)^{\mathrm{op}}$. 则有 $$ \begin{aligned} \mathsf{Fun}^{\mathrm{fin.~lim.}}(\mathcal G,\mathcal X) &\simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{lim}}(\mathsf{Pro}(\mathcal G),\mathcal X)\\ &\simeq\mathsf{Fun}^{\mathrm{R}}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal X)\\ &\simeq\mathsf{Fun}^{\mathrm{R}}(\mathcal X^{\mathrm{op}},\mathcal C)\\ &\simeq\mathsf{Fun}^{\mathrm{lim}}(\mathcal X^{\mathrm{op}},\mathcal C)=\mathsf{Sh}_{\mathcal C}(\mathcal X). \end{aligned} $$ 这里使用了伴随函子定理的一种推广, 只要求一边为可表现范畴 (见 HTT 5.5.2.9 及之后的注).

可容许结构与几何的定义

为了囊括局部环化空间的概念, 我们需要范畴 $\mathcal C$ 或者其生成元 $\mathcal G$ 具有更多的结构以表达局部性. 人们发现所需的结构是 Grothendieck 拓扑, 以及如下的可容许结构:

定义. 一个几何是一个具有有限极限的幂等完备小范畴 $\mathcal G$, 配备如下的可容许结构 (admissiblility structure):

一族可容许态射 (admissible morphisms), 构成子范畴 $\mathcal G^{\mathrm{ad}}\subset\mathcal G$ (包含 $\mathcal G$ 的所有对象);
$\mathcal G^{\mathrm{ad}}$ 上的一个 Grothendieck 拓扑;

满足如下条件.

可容许态射关于拉回和收缩封闭;
若复合态射 $gf$ 与 $g$ 可容许, 则 $f$ 可容许.

两个几何之间的变换 $\mathcal G'\to \mathcal G$ 是保持可容许态射以及 Grothendieck 拓扑的函子.

上述定义可理解为用景 (与景的态射) 表现意象 (与意象之间的态射). 当然, 这种表现是有冗余的, 也即不同的景可以表现同一个意象.

在环层的例子中, $\mathcal G = \mathsf{Aff}_{\mathrm{ft}}$ 是有限型仿射概形的范畴. 我们知道 $\mathcal G$ 上的 Zariski Grothendieck 拓扑给出了局部环的分类意象 (见 Monique Hakim). 我们将看到一般的几何也可用分类意象来描述.

定义 (意象上的 $\mathcal G$-结构). 设 $\mathcal G$ 为几何, $\mathcal X$ 为意象. 定义 $\mathcal X$ 上的 $\mathcal G$-结构为保持有限极限的函子 $\mathcal G\to\mathcal X$, 满足对 $\mathcal G$ 中任意一族可容许态射构成的覆盖, 其在 $\mathcal X$ 中也构成覆盖 (满射).

这基本上是景的态射 $\mathcal G\to\mathcal X$, 它将诱导意象的态射 $\mathcal X \to\mathsf{Sh}(\mathcal G)$ (注意 $\mathsf{Sh}(\mathcal X) = \mathcal X$). 在我们最熟悉的例子中, $\mathsf{Sh}(\mathcal G)$ 是局部环的分类意象, 意象的态射 $\mathcal X \to\mathsf{Sh}(\mathcal G)$ 等同于 $\mathcal X$ 上的局部环.

记 $\mathcal X$ 上的 $\mathcal G$-结构的范畴为 $\mathsf{Str}_{\mathcal G}(\mathcal X)$.

分解系统

局部环之间的同态 $A\to B$ 不仅要是环同态, 还需要如下的额外性质: $A$ 中的不可逆元在 $B$ 中仍不可逆. 这种环同态称为局部的. 这有点像是保守函子的性质.

交换环同态 $A\to B$ 总是可以分解为 $$ A \to A[S^{-1}] \to B, $$ 其中 $S = \{a\in A\mid f(a)\in B^\times\}$, 且 $A[S^{-1}]\to B$ 为局部同态. 事实上, 这构成了交换环范畴上的一个分解系统.

类似地, $\mathsf{Str}_{\mathcal G}(\mathcal X)$ 上也有一个分解系统, 其右边分量为局部同态的类:

定义 ($\mathcal G$-结构的局部同态). 设 $\mathcal O,\mathcal O'\colon \mathcal G\to\mathcal X$ 为 $\mathcal X$ 上的 $\mathcal G$-结构, 有自然变换 $\alpha\colon \mathcal O\to\mathcal O'$. 若对 $\mathcal G$ 中任意可容许态射 $U\to V$, 自然变换 $\alpha$ 给出的方块 $$ \begin{array}{ccc} \mathcal O(U) & \rightarrow & \mathcal O(V) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal O'(U) & \rightarrow & \mathcal O'(V) \end{array} $$ 都是拉回方块, 则称 $\alpha$ 为局部同态.

注意, 范畴 $\mathsf{Str}_{\mathcal G}(\mathcal X)$ 本身只取决于 $\mathcal G$ 及其上的 Grothendieck 拓扑, 但局部同态的概念依赖于可容许结构.

定理. 设 $\mathcal G$ 为任意几何, 对于意象 $\mathcal X$, 范畴 $\mathsf{Str}_{\mathcal G}(\mathcal X)$ 上有分解系统 $(L_{\mathcal X},R_{\mathcal X})$, 使得 $R_{\mathcal X}$ 为局部同态的类.

证明. 首先考虑 $\mathcal X = \mathsf{Ani}$ 的特例. 注意到 $$ \mathsf{Fun}^{\mathrm{fin.~lim.}} (\mathcal G, \mathsf{Ani}) \simeq \mathsf{Pro}(\mathcal G)^{\mathrm{op}}, $$

分类意象

设 $\mathcal K$ 为意象. 定义 $\mathcal K$ 上的一个几何结构为如下资料: 对任意一个意象 $\mathcal X$, 函子性地指定 $\operatorname{Hom}(\mathcal X,\mathcal K)$ 的一个分解系统 $(L_{\mathcal X},R_{\mathcal X})$. 函子性是指对意象态射 $\mathcal Y\to \mathcal X$, 函子 $\mathsf{Fun}(\mathcal X,\mathcal K) \to \mathsf{Fun}(\mathcal Y,\mathcal K)$ 将 $L_{\mathcal X}$ 映射到 $L_{\mathcal Y}$, $R_{\mathcal X}$ 映射到 $R_{\mathcal Y}$.

定义 $\operatorname{Str}_{\mathcal K}^{\mathrm{loc}}(\mathcal X)$ 为 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Topos}}(\mathcal X,\mathcal K)$ 的对象及 $R_{\mathcal X}$ 中的态射构成的范畴.

每种几何 $\mathcal G$ 都表现一个意象 $\mathcal K := \mathsf{Sh}(\mathcal G)$, 称为其分类意象. 此时 $\mathcal K$ 上的几何结构所需的分解系统 $(L_{\mathcal X},R_{\mathcal X})$ 正是前述的 $\mathsf{Str}_{\mathcal G}(\mathcal X)$ 上的分解系统.

命题. $$ \mathsf{Str}_{\mathcal G}^{\mathrm{loc}}(\mathcal X) \simeq \mathsf{Str}_{\mathcal K}^{\mathrm{loc}}(\mathcal X). $$

上述概念关于 $\mathcal X$ 都是函子性的. 这可以通过考虑万有纤维范畴来说明, 但此处略去. 总之, 我们可以将所有意象 $\mathcal X$ 上的 $\mathcal G$-结构 (或 $\mathcal K$-结构) 放在一起, 定义 “带 $\mathcal G$-结构 (或带 $\mathcal K$-结构) 意象的范畴” $$ \mathsf{Topos}_{\mathcal G} \simeq \mathsf{Topos}_{\mathcal K}. $$

例. 单点对应的意象 $\mathsf{Ani}$ 是平凡结构的分类意象: $\mathsf{Topos}_{\mathsf{Ani}} = \mathsf{Topos}$.

例. 任何一个意象 $\mathcal K$ 都带有平凡的几何结构, 此时 $\mathsf{Topos}_{\mathcal K}$ 即是 $(\infty,2)$-范畴 $\mathsf{Topos}$ 的切片范畴 $\mathsf{Topos}_{/\mathcal K}$, 其中对象为 $\mathcal K$ 上的相对意象 $\mathcal X\to\mathcal K$, 态射为交换图 $$ \begin{array}{ccc} \mathcal X & \overset{f}{\rightarrow} & \mathcal Y \\ & \searrow & \downarrow \\ & & \mathcal K, \end{array} $$ 带有 $\mathcal K$-结构的态射 $f^*\mathcal O_{\mathcal Y} \to \mathcal O_{\mathcal X}$ (注意这个态射不要求为同构). 我们最熟悉的例子是 $$ \mathcal K = \mathsf{Sh}(\mathsf{Aff}_{\mathrm{ft}},\mathrm{Zar}), $$ 即局部环的分类意象, 意象 $\mathcal X$ 上的 $\mathcal K$-结构等同于 $\mathcal X$ 上的局部环.

概形论

相对谱

设 $A$ 为交换环, 其谱 $(\operatorname{Spec}A,\mathcal O_{\operatorname{Spec}A})$ 是具有如下泛性质的局部环化空间: 任意局部环化空间 $(X,\mathcal O_X)$ 到 $(\operatorname{Spec}A,\mathcal O_{\operatorname{Spec}A})$ 的态射等同于环同态 $A \to \Gamma(X,\mathcal O_X)$. 我们可将后者视为环化空间的态射 $(X,\mathcal O_X)\to (*,A)$. 换言之, 谱这一操作是 “遗忘函子” $$ \mathsf{LocRingSp} \to \mathsf{RingSp} $$ 的右伴随.

类似地, 对于几何的变换 $\mathcal G' \to \mathcal G$ (意象的态射 $\mathsf{Sh}(\mathcal G) \to \mathsf{Sh}(\mathcal G')$), 其诱导的函子 $$ \mathsf{Topos}_{\mathcal G} \to \mathsf{Topos}_{\mathcal G'} $$ 有右伴随 $$ \operatorname{Spec}_{\mathcal G}^{\mathcal G'}\colon \mathsf{Topos}_{\mathcal G'} \to \mathsf{Topos}_{\mathcal G}, $$ 称为相对谱.

光滑性

预几何

上面说的 “几何” 都是所谓 “导出” 几何, 为了表达由 “经典” 几何过渡到 “导出” 几何的过程还需要预几何 (pregeometry) 的概念. 预几何与最终的几何之间的区别在于截断度从 $0$ 到 $\infty$, 例如经典代数几何的截断度为 $0$, 导出代数几何的截断度为 $\infty$.

稳定中心猜想 [notes-stable-center]

笔记
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本文是为准备 2026 年春季学期徐斌老师 “朗兰兹纲领选讲” 课程报告而记的笔记. 主要参考 BKV.

引言

局部 Langlands 猜想说的是 $G(F)$ 的光滑不可约表示的同构类集合分解为所谓 L-包的并.

记 $G(F)$ 的 Bernstein 中心 (即表示范畴 $R(G)$ 的中心) 为 $Z_G$.

稳定中心猜想是关于 $Z_G$ 的一个子代数 $Z_G^{\mathrm{st}}$ 的猜想. 根据该猜想, $\operatorname{Irr}(G)$ 可根据 $Z_G^{\mathrm{st}}$ 的特征来分解, 提供局部 Langlands 猜想的线索.

本文的技术手段是构造 Bernstein 中心的范畴化类比, 其 Frobenius 不变对象通过 Grothendieck 函数–层字典给出 $Z_G$ 的元素.

1. 可容许 ind-叠上的可构造层

1.1 可容许态射

记 $\mathsf{Sch}_k$ 为 qcqs $k$-概形的范畴.

引理. $\mathsf{Sch}_k$ 中以余滤偏序集为指标, 以仿射态射为转移态射的图表具有极限.

记 $\mathsf{Var}_k$ 为有限型分离 $k$-概形的范畴. 固定素数 $\ell$ 不同于 $k$ 的特征. 记 $D(X) := D_c^b(X,\overline{\mathbb{Q}_\ell})$ 为可构造 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$-层的有界导出范畴. $\mathsf{Var}_k$ 中的每个态射 $f\colon X\to Y$ 都给出四个函子 $f^*\dashv f_*$, $f_!\dashv f^!$.

设 $k$ 可分闭. 对于 $X\in \mathsf{Var}_k$, 若典范的映射 $\mathbb{Q}_\ell \to R\Gamma(X,\mathbb{Q}_\ell)$ 为同构, 则称 $X$ 无圈 (acyclic). 例如 $\mathbb A^n$ 无圈.

对于 $\mathsf{Sch}_k$ 中的有限表现态射 $f\colon X\to Y$, 若 $f$ 光滑, 且所有几何纤维无圈, 则称 $f$ 幂幺 (unipotent).

回忆光滑态射 $f$ 满足 $f^!\simeq f^*[2n](n)$. 光滑态射 $f$ 幂幺当且仅当余单位 $f_!f^!\to \mathrm{id}_{D(Y)}$ 为同构, 也等价于 $f^!\colon D(Y)\to D(X)$ 为全忠实函子 (自反子范畴).

对于 $\mathsf{Sch}_k$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 若如下条件成立则称其可容许:

存在 $Y$ 上的余滤图表 $\{X_i\}_{i\in I}$, 使得 $X\simeq\lim_i X_i$, 每个 $X_i\to Y$ 有限表现, 转移态射 $X_i\to X_j$ 仿射且幂幺.

此时称 $\{X_i\}_{i\in I}$ 为 $X\to Y$ 的一个可容许表现.

若 $X\to Y$ 有可容许表现 $\{X_i\}_{i\in I}$, 其中存在 $i$ 使得 $X_i\to Y$ 幂幺, 则称 $X\to Y$ 为 pro-幂幺态射.

当 $X\to \operatorname{Spec}k$ 可容许时, 称 $X$ 可容许. 记可容许 $k$-概形的范畴为 $\mathsf{ASch}_k$.

可容许态射关于复合封闭.

1.2 可构造层

对于 $X\in\mathsf{Sch}_k$, 记 $(X/\cdot)$ 为仰范畴 $(\mathsf{Var}_k)_{X/}$. 由于 $\mathsf{Var}_k$ 具有纤维积, $(X/\cdot)$ 为余滤范畴.

记 $(X/\cdot)^{\mathrm{sm}}$, $(X/\cdot)^{\mathrm{un}}$ 为 $(X/\cdot)$ 中由形式光滑态射, pro-幂幺态射 $X\to V$ 构成的子范畴.

定义

$M(X) := \operatorname{colim}^!_{(X/\cdot)^{\mathrm{op}}} D(V)$, 即 $!$-拉回构成的图的余极限;
$D(X) := \operatorname{colim}^*_{(X/\cdot)^{\mathrm{op}}}D(V)$, 即 $*$-拉回构成的图的余极限;
$\widehat {M}(X) := \operatorname{lim}^!_{(X/\cdot)} D(V)$, 即 $!$-推前构成的图的极限;
$\widehat {D}(X) := \operatorname{lim}^*_{(X/\cdot)}D(V)$, 即 $*$-推前构成的图的极限.

$D(X),M(X),\widehat {M}(X)$ 分别类比于局部常值函数的空间, 局部常值测度的空间, 全体测度的空间.

1.3 ind-概形的情形

回忆, ind-概形是概形 (在 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Sch}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 中) 的滤余极限, 我们要求余极限图表的每个态射均为有限表现的闭嵌入.

对于概形 $X$ 与 ind-概形 $Y$, 若映射 $X\to Y$ 为有限表现闭嵌入, 则称之为 fp-闭子概形.

对于 ind-概形的态射 $f\colon X\to Y$, 若对任意 fp-闭子概形 $Z\subset X$, 都有 $f|_Z$ 为可容许态射, 则称 $f$ 可容许.

1.4 ind-叠

记 $\mathsf{St}_k$ 为 $\operatorname{Spec}k$ 上的叠的 $2$-范畴, $\mathsf{Art}_k^{\mathrm{ft}}$ 为有限型 Artin 叠的子范畴.

对于 $X\in\mathsf{Art}_k^{\text{ft}}$, 记 $D(X)$ 为可构造 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$-层的有界导出范畴, $D^-(X)$ 为上有界导出范畴.

1.5 几何对象的 $2$-范畴

对于 $X,Y\in\mathsf{AISt}_k$, 可定义 “$X$ 方向的测度, $Y$ 方向的函数” 的范畴 $M_X(X\times Y)$.

对于 $\mathsf{Art}_k^{\text{ft}}$ 中的态射 $f\colon U_1\to U_2$, $g\colon V_1\to V_2$, 记 $f^!\times g^*\colon D(U_2\times V_2) \to D(U_1\times V_1)$ 为 $f^!$, $g^*$ 的复合 (与顺序无关).
对于 $X,Y\in\mathsf{ASt}_k$, 定义 $$ M_X(X\times Y) = \operatorname{colim}^{!,*}_{U\in (X/\cdot)^{\mathrm{op}},V\in (Y/\cdot)^{\mathrm{op}}} D(U\times V), $$ 转移态射为前面提到的 $f^!\times g^*$.
对于 $X,Y\in\mathsf{AISt}_k$, 定义 $$ M_X(X\times Y) = \operatorname{colim}_{i,j} M_{X_i}(X_i\times Y_j). $$ 类似地, 将 $D$ 改为 $D^-$, 可定义 $M_X^-(X\times Y)$.

范畴 $M_X(X\times Y)$ 的每个对象 $B$ 给出函子 $M(X)\to M(Y)$, $$ F\mapsto (p_Y)_!(p_X^*F\otimes B). $$

进一步, 有复合函子 $$ M_Y(X\times Y)\times M_Z(Y\times Z)\to M_Z(X\times Z), $$ $$ (A,B)\mapsto (p_{XZ})_! (p_{XY}^*A\otimes p_{YZ}^*B). $$

上述构造可延拓到 pro-范畴.

定义全子范畴 $$ \operatorname{Hom}_{\text{geom}}(X,Y) \subset \mathsf{Pro} M_Y(X\times Y) $$ 其对象 $B$ 满足对任意 $F\in M(X)$, 有 $B(F)\in M(Y)$. 这些资料构成 $2$-范畴 $M_{\text{grom}}$, 称为几何 $2$-范畴.

定义 $X$ 到 $Y$ 的一个可容许关系 (admissible correspondence) 为 $$ X \overset{g}{\leftarrow} Z \overset{f}{\to} Y, $$ 满足 $g$ 可表为叠且形式光滑, $f$ 可容许且强可表 (strongly representable). 该关系给出函子 $$ f_! g^!\colon M(X)\to M(Y). $$ 进而有可容许关系范畴到几何 $2$-范畴的 $2$-函子 $$ \mathsf{Corr} \to M_{\text{grom}}. $$

2. Hecke 代数的范畴化

记号.

$B\subset G$ 是固定的 Borel 子群,
$I$ 是 $B$ 对应的 Iwahori 子群, 即 $B$ 在投影 $L^+G\to G$ 下的原像.
$\mathrm{Fl} := LG / I$ 为仿射旗簇, $\widetilde W$ 为仿射 Weyl 群.
$\mathsf{Par}$ 为 $LG$ 的抛物-Iwahori 子群 (也即包含 $I$ 的 fp-闭子群) 的偏序集.
对于 $P\in\mathsf{Par}$, 记 $P^+$ 为 pro-幂幺根, …

2.1 环路空间

记 $K = k(\!(t)\!)$, $\mathcal O = k[\![t]\!]$. 固定 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$.

2.2 Hecke 代数

固定一个 Borel 子群 $B\subset G$, 记 $\mathbf I$ 为相应的 Iwahori 子群.

$M(LG)$ 关于卷积 $$ A*B = m_! (A\boxtimes B) $$ 构成幺半范畴.

2.3 平均函子

e. 例子

这一节是我自己加的, 收集一些辅助我理解的例子.

考虑 $G = \mathrm{SL}_2$.

仿射 Weyl 群 $\widetilde {W} = \mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}/2$, 生成元为平移 $t = \begin{pmatrix}t&0\\0&t^{-1}\end{pmatrix}$ 与反射 $s = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, 满足 $s^2=1$, $sts=t^{-1}$. Bruhat 序为 $t^n\leq t^{n+1}$, $st^n\leq st^{n+1}$, $t^n < st^n$.
Iwahori 子群 $I = \Big\{\begin{pmatrix}*&*\\t *&*\end{pmatrix}\Big\}\subset\mathrm{SL}_2(k[\![t]\!])$.
$I_n^+ = \Big\{\begin{pmatrix}1&t^n *\\t^{n+1} *&1\end{pmatrix}\Big\}\subset\mathrm{SL}_2(k[\![t]\!])$. 那么 $I/I_n^+$ 是有限型群概形, 且 $I = \operatorname{lim}I/I_n^+$.
$LG = \mathrm{SL}_2(k(\!(t)\!))$.
仿射旗簇 $\mathrm{Fl} = LG/I = \bigsqcup_{n\geq 0}Y_{t^n} \sqcup\bigsqcup_{n\geq 0}Y_{st^n}$, 其中 $Y_{t^n}\simeq\mathbb A^{2n}$, $Y_{st^n}\simeq\mathbb A^{2n+1}$.
$LG^{\leq w} \subset LG$ 是 $\mathrm{Fl}^{\leq w}$ 的原像. $LG = \operatorname{colim}_{w\in \widetilde W}LG^{\leq w}$ 将 $LG$ 表现为可容许 ind-概形.

3. 稳定中心猜想

3.1 经典理论

设 $F$ 为非 Archimedes 局部域, $W_F$ 为 Weil 群, $W_F$ 为 Weil–Deligne 群.

设 $G$ 为 $F$ 上的连通约化群, 设其分裂. 记 $\check{G}$ 为 Langlands 对偶.

记 $R(G)$ 为 $G(F)$ 的光滑表示的范畴, $\operatorname{Irr}(G)$ 为其中不可约对象的等价类集合.

3.1.2 Bernstein 中心

记 $Z_G = Z(R(G))$ 为 Bernstein 中心, 即 $\mathrm{id}_{R(G)}$ 的自同态代数. $$ Z_G := \operatorname{End}(\mathrm{id}_{R(G)}) $$

$Z_G$ 的每个元素 $z$ 给出 Hecke 代数 $\mathcal H(G(F))$ 的一个自同态 $z_{\mathcal H}$.

3.1.3 稳定 Bernstein 中心

$Z_G$ 的每个元素 $z$ 给出不变分布 $\mu_z \in \operatorname{Dist}^{G(F)}(G(F))$

3.1.4 稳定中心猜想

稳定中心猜想是说 $Z_G^{\text{st}}\subset Z_G$ 构成子代数.

3.2 Bernstein 中心的范畴化

朴素的想法是定义 $\mathcal Z(LG)$ 为 $$ \operatorname{End}_{\mathcal M(LG^2)}(\mathcal M(LG)), $$ 但在我们现在的 $\ell$-进语境中, 该定义似乎不对. 我们应该考虑的不是抽象的范畴自同态, 而是 “来自几何” 的自同态. 更正式地说, 我们应该使用的不是全体稳定范畴的 $2$-范畴, 而是几何对象的 $2$-范畴.

一般而言, 对于 $2$-范畴 $\mathfrak C$ 的对象 $X$, 有幺半范畴 $\operatorname{End}_{\mathfrak C}(X)$. 设 $\mathfrak C$ 自身是幺半范畴, $S\in\mathfrak C$ 为结合代数, $X$ 为 $S$-模, 那么可定义一个幺半范畴 $\operatorname{End}_{\mathfrak C}^S(X)$, 它是如下单纯图表的极限: $$ \operatorname{Hom}(X,X)\to^2\operatorname{Hom}(S\otimes X,X)\to^3\operatorname{Hom}(S\otimes S\otimes X,X)\to^4\cdots $$ 定义 $S$ 的中心为 $$ Z(S) :=\operatorname{End}_{\mathfrak C}^{S\otimes S^{\mathrm{op}}}(S). $$

考虑 $LG$ 作为几何 $2$-范畴的对象的中心 $$ Z_{M_{\text{grom}}}(LG). $$ 它是 Bernstein 中心的范畴化.

对每个 $P\in\mathsf{Par}$, 考虑幺半范畴 $M(\frac{LG}{P})$; 对 $P\subset Q$, 考虑 $!$-拉回函子 $M(\frac{LG}{Q}) \to M(\frac{LG}{P})$. 定义 $$ \mathsf{Pro}M(\frac{LG}{LG}) :=\operatorname{lim}_{P\in\mathsf{Par}}\mathsf{Pro}M(\frac{LG}{P}). $$ (注意, 我们需要先得到 pro-范畴再取极限, 因为 “不变分布不可能紧支集”) 它是不变分布空间 $\operatorname{Dist}^{G(F)}G(F)$ 的范畴化.

3.3

记 $\Upsilon$ 为 $\mathrm{Fl}$ 的 $\mathbf I$-不变非空闭子概形构成的偏序集.

3.4 应用到经典情形

通过 Grothendieck 函数–层字典可由 $X$ 上的 $\mathrm{Fr}$-不变层 $\mathcal F\in D^{\mathrm{Fr}}(X)$ 得到 $X$ 上的函数 $[\mathcal F]$.

对于 $X=LG$ 的情形, 有 $[\mathcal F]\in C_c^{\infty}(G(F))$.

定义 $$ \frak{Z}^{\mathrm{Fr}}(LG) := \operatorname{End}_{K_0M^{\mathrm{Fr}}(LG^2)}(K_0M^{\mathrm{Fr}}(LG)). $$

Bernstein 投影算子的稳定性

5. 应用到经典 Bernstein 投影 $z^0$

在 3.4 节的情形,

6. 定理 5.1.8 的证明

Barwick 算子范畴 [opecat]

笔记
SimplicialCat

Clark Barwick 文章的笔记. 将原文转写为模型无关语言.

回忆 $\infty$-范畴可由单纯形 (即一串连续的箭头) 探测, 给出单纯生象. 类似地, 算畴 (多重范畴) 可由类似于树的对象探测. 本文建立了一个统一的框架, 由算子范畴 $\Phi$ 出发构造探测用的 “$\Phi$-序列”, 分别在 $\Phi = 1$ 和 $\Phi = \mathsf{Fin}$ 的情形恢复出 $\infty$-范畴与算畴的概念.

算子范畴

定义. 一个算子范畴 (operator category) $\Phi$ 是满足如下条件的范畴:

$\Phi$ 具有终对象 $1$; 记 $|I|:=\operatorname{Hom}(1,I)$, 称之为 $I$ 的点的集合;
态射集 $\operatorname{Hom}(I,J)$ 均为有限集;
对任意态射 $I\to J$ 以及 $j\in |J|$, 有纤维 $\{j\}\times_J I$.

定义算子范畴之间的态射为满足如下条件的函子 $G\colon \Psi\to\Phi$:

$G$ 保持终对象以及纤维操作;
对任意 $I\in\Psi$, $|I|\to |GI|$ 为满射.

记算子范畴的 $2$-范畴为 $\mathsf{Op}$.

例. 终范畴 $1$, 有限全序集范畴 $\mathsf{Ord}$ (态射为偏序集映射), 有限集范畴 $\mathsf{Fin}$ 均为算子范畴.

注. 范畴 $\mathsf{Ord}$ 就是增广单纯形范畴 $\Delta_+$, 但在这里我们有意避免使用这个称呼, 因为单纯形范畴 $\Delta$ 将以另一种身份出现, 我们想要避免混淆.

命题.

$1$ 是 $\mathsf{Op}$ 的始对象.
$\mathsf{Fin}$ 是 $\mathsf{Op}$ 的终对象: 对任意算子范畴 $\Phi$, 有态射 $\Phi\to\mathsf{Fin}$, $I\mapsto |I|$.

定义. 对于算子范畴 $\Phi$ 与自然数 $n$, 记 $\Phi_{\leq n}$ 为其中具有不超过 $n$ 个点的对象构成的全子范畴. 这也是一个算子范畴.

定义. 对于算子范畴 $\Psi,\Phi$, 定义其圈积 $\Psi\wr\Phi$ 为如下范畴:

其对象为 $$ (I\in\Phi,(M_i\in\Psi)_{i\in |I|}), $$
态射 $(I,(M_i)) \to (J,(N_j))$ 为 $$ (\eta\colon I\to J,(\omega_i\colon M_i\to N_{\eta(i)})_{i\in |I|}). $$

容易看到 $\Psi\wr\Phi$ 仍是算子范畴:

其终对象为 $(1,(1))$;
对象 $(I,(M_i))$ 的一个点就是 $I$ 的一个点 $i$ 配上 $M_i$ 的一个点, $|(I,(M_i))| \simeq \sum_{i\in I} |M_i|$ 为有限个有限集之和;
态射 $(\eta,(\omega_i))\colon (I,(M_i)) \to (J,(N_j))$ 在点 $(j,n)$ 处的纤维为 $(\eta^{-1}(j),(\omega_i^{-1}(n))_{i\in |\eta^{-1}(j)|})$.

例. $\mathsf{Ord} \wr \mathsf{Ord}$ 的对象可理解为一个全序集上的丛, 每个纤维又是一个全序集. 态射就是把每个纤维映射到对方的某个纤维, 保持底和纤维上的序.

定理. 圈积是 $\mathsf{Op}$ 上的一个幺半结构.

一类重要的态射: 区间含入

定义 (区间含入). 设 $\Phi$ 为算子范畴, 称如下拉回图中的态射 $K\to J$ 为纤维含入, $$ \begin{array}{ccc} K & \rightarrow & J \\ \downarrow & & \downarrow \\ \{i\} & \rightarrow & I \end{array} $$ 称一串纤维含入的复合为区间含入.

例.

$\mathsf{Ord}$ 中的区间含入是 $\{k < k+1 < \cdots < \ell\} \subset \{1 < \cdots < n\}$.
$\mathsf{Fin}$ 中的区间含入即为单射.

区间含入的性质:

区间含入为单射, 且关于拉回与复合封闭.
若 $\phi\colon K\to J$ 为区间含入, $\psi\colon L\to K$ 为任意态射, 则 $\psi$ 为区间含入当且仅当 $\phi\psi$ 为区间含入.
若 $\phi\colon K\to J$ 为区间含入,

算子范畴中的序列

定义. 设 $\Phi$ 为算子范畴, 定义范畴 $\Delta_{\Phi}$ 如下:

$\Delta_{\Phi}$ 的对象为 $\Phi$ 中的序列 $I_0\to I_1 \to \cdots \to I_n$, 即有限全序集 $[n]$ 到 $\Phi$ 的函子, 简记为 $([n],I)$;
态射 $([n],I) \to ([m], J)$ 为态射 $\eta\colon [n]\to [m]$ 以及自然变换 $\phi\colon J\to I\eta$, 使得 $J_k \to I_{\eta(k)}$ 均为区间含入, 且自然性方块均为拉回.

例.

$\Delta_1 = \Delta$ 就是单纯形范畴.
$\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 是分层森林的范畴.

注意到 $\Delta_{\Phi}$ 关于 $\Phi$ 有函子性; 特别地, 对任何 $\Phi$ 都有函子 $\Delta \to \Delta_{\Phi}$.

定义 (完备 Segal $\Phi$-算畴). 设 $\Phi$ 为算子范畴, 定义完备 Segal $\Phi$-算畴为满足如下条件的函子 $X\colon \Delta_{\Phi}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$:

$X([n],I) \overset{\simeq}{\to} \prod_{i\in |I_m|} X(I_{0,i}\to I_{1,i}\to\cdots\to \{i\})$;
$X([n],I) \overset{\simeq}{\to} X(I_0\to I_1)\times_{X(I_1)}\cdots\times_{X(I_{m-1})}X(I_{m-1}\to I_m)$;
$X|_\Delta$ 为完备 Segal 生象.

记这样的函子构成的全子范畴为 $\mathsf{Operad}_\Phi$.

例.

完备 Segal $1$-算畴就是完备 Segal 生象.
完备 Segal $\mathsf{Fin}$-算畴就是 (Lurie 意义下的) 对称算畴.

命题. 对于算子范畴的态射 $G\colon \Psi \to \Phi$ 有伴随 $$ G_! \dashv G^*\colon \mathsf{Operad}_\Psi \rightleftarrows \mathsf{Operad}_\Phi. $$

例. 考虑态射 $u\colon \mathsf{Ord}\to\mathsf{Fin}$, 称 $u_!\colon \mathsf{Operad}_{\mathsf{Ord}}\to \mathsf{Operad}_{\mathsf{Fin}}$ 为非对称算畴的对称化. $\mathsf{Operad}_{\mathsf{Ord}}$ 的终对象的对称化即为算畴 $\mathbb E_1$.

算子范畴给出单子

定义 (点分类子). 设 $\Phi$ 为算子范畴. 若存在对象 $I$ 与其中的点 $i$, 使得对任意对象 $J$ 和点 $j$, 存在唯一的态射 $f\colon J\to I$ 使得 $f^{-1}(j) = \{i\}$, 则称 $(I,i)$ 为点分类子 (point classifier).

由于点分类子由万有性质定义, 当它存在是它就是唯一的.

例.

$\mathsf{Fin}$ 的点分类子为 $(\{0,1\}, 1)$.
$\mathsf{Ord}$ 的点分类子为 $(\{0<1<2\} , 1)$; 直观: $0$ 表示基点以下, $1$ 表示基点, $2$ 表示基点以上.
$\mathsf{Ord}\wr\mathsf{Ord}$ 的点分类子为 $\big({(\{0<1<2\},(\{0\},\{0<1<2\},\{0\}))},(1,1)\big)$. 直观: $$ \begin{array}{ccc} & * &\
- & \star & *\ & * & \end{array} $$ 其中 $\star$ 表示那个特殊的点.
一般地, $\mathsf{Ord}^{\wr \,n}$ 都存在点分类子.

定义 (完美算子范畴). 称满足如下条件的算子范畴 $\Phi$ 为完美算子范畴:

$\Phi$ 存在点分类子 $(T,t)$;
函子 $\operatorname{fib}\colon \Phi_{/T} \to \Phi$ 有右伴随.

由于这对伴随, 完美算子范畴 $\Phi$ 给出 $\Phi$ 上的单子 $T_\Phi$.

例.

Leinster 范畴

定义. 设 $\Phi$ 为完美算子范畴, 称 $T_\Phi$ 的 Kleisli 范畴为 $\Phi$ 的 Leinster 范畴 $\Lambda (\Phi)$.

六函子 [six-functors]

笔记

本文是 Scholze 的六函子讲义的阅读笔记.

引言

六函子是一种出现于许多场合的体系:

平展上同调
拓扑空间的上同调
代数簇上的D-模

我们以良好拓扑空间上的六函子逐步引入正题. 记 $D(X,\mathbb{Z})$ 为空间 $X$ 上 Abel 层的导出范畴. 对于映射 $f\colon X\to Y$, 层的拉回

$f^*\colon D(Y,\mathbb{Z}) \to D(X,\mathbb{Z})$

有右伴随

$f_* \colon D(X,\mathbb{Z})\to D(Y,\mathbb{Z})$,

这是上同调的相对版本. 当 $Y=*$ 时, 记 $f_*$ 为 $R\Gamma(X,-)$.

为了得到 Künneth 公式, 我们需要张量积

$(-)\otimes (-)\colon D(X,\mathbb{Z})\times D(X,\mathbb{Z})\to D(X,\mathbb{Z})$,

其有第二分量的右伴随

$\underline{\operatorname{Hom}}(-,-)\colon D(X,\mathbb{Z})^\mathrm{op}\times D(X,\mathbb{Z}) \to D(X,\mathbb{Z})$.

张量积与拉回相容, 即 $f^*$ 构成对称幺半函子. 此外有投影公式 $$ f_*A \otimes B \simeq f_*(A\otimes f^*B). $$ 这意味着, 由对称幺半函子 $f^*$ 视 $D(X,\mathbb{Z})$ 为 $D(Y,\mathbb{Z})$-模, 则 $f_*$ 是 $D(Y,\mathbb{Z})$-线性函子.

投影公式中的函子来自如下函子的伴随. $$ f^*(f_* A \otimes B)\simeq f^*f_*A \otimes f^*B \to A\otimes f^* B. $$ 使用该公式可证明 Künneth 公式.

定向流形的上同调满足 Poincaré 对偶:

定理 (Poincaré 对偶). 对于紧定向 $d$ 维流形 $X$, $$ R\Gamma(X,\mathbb{Z})[d] \simeq R\Gamma(X,\mathbb{Z})^\vee. $$ 其中 $(-)^\vee := \underline{\operatorname{Hom}}(-,\mathbb{Z})$.

Poincaré 对偶来自如下更广泛的现象: $f_*\colon D(X,\mathbb{Z})\to D(*,\mathbb{Z})$ 有右伴随 $f^*(-) [d]$, 即 $$ \operatorname{Hom}_{D(X,\mathbb{Z})}(A,f^*B[d]) \simeq \operatorname{Hom}_{D(*,\mathbb{Z})}(R\Gamma(X,A),B). $$ 取 $A = \underline{\mathbb{Z}}\in D(X,\mathbb{Z})$, $B = \mathbb{Z}\in D(*,\mathbb{Z})$ 即得 Poincaré 对偶.

这件事的相对版本是 Verdier 对偶:

定理 (Verdier 对偶). 设 $f\colon X\to Y$ 为紧合映射, 且在 $X,Y$ 的局部上为 $d$ 维圆盘的丛, 称之为流形丛. 那么 $f_*\colon D(X,\mathbb{Z}) \to D(Y,\mathbb{Z})$ 有右伴随 $$ f^* \otimes \omega_{X/Y}, $$ 其中 $\omega_{X/Y}\in D(X,\mathbb{Z})$ 是某个层, 局部同构于 $\mathbb{Z}[d]$.

前面的 $X$ 的定向条件确保 $\omega_{X/*} \simeq \mathbb{Z}[d]$ 在整体上成立.

我们还可以对一般的映射 $f$ 叙述 Verdier 对偶, 仅要求局部条件 (局部上为圆盘丛) 而非整体条件. 这需要紧支前推

$f_!\colon D(X,\mathbb{Z})\to D(Y,\mathbb{Z})$

及其右伴随

$f^!\colon D(Y,\mathbb{Z}) \to D(X,\mathbb{Z})$.

定理 (Verdier 对偶). 设 $f\colon X\to Y$ 为流形丛, 相对维数为 $d$, 则 $f^! \simeq f^* \otimes\omega_{X/Y}$, 其中 $\omega_{X/Y} = f^!\mathbb{Z}$.

对于紧合映射 $f$, 有 $f_! = f_*$.

六函子体系

设 $\mathcal C$ 是一类几何对象的范畴, $E$ 是其中的一类态射, 满足如下条件:

$\mathcal C$ 有有限极限;
$E$ 包含所有同构, 且在拉回, 复合与对角操作下稳定.

六函子大致是指如下数据:

对每个 $X\in\mathcal C$ 指定一个对称幺半范畴 $D(X)$;
对每个态射 $f\colon X\to Y$, 有对称幺半的拉回函子 $f^*\colon D(Y)\to D(X)$;
对 $E$ 中的每个态射 $f\colon X\to Y$, 有 “紧支前推” $f_!\colon D(X)\to D(Y)$;
三个函子 $A\otimes (-)$, $f^*$, $f_!$ 分别有右伴随 $\operatorname{Hom}(A,-)$, $f_*$, $f^!$;
对 $E$ 中的态射 $f$ 的基变换
(当然 $f'$ 也在 $E$ 中), 有同构 $$ g^*f_! \simeq f'_! {g'}^*. $$
对 $E$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 有投影公式 $$ f_! A \otimes B \simeq f_!(A\otimes f^*B). $$ 换言之, $f_!\colon D(X)\to D(Y)$ 是 $D(Y)$-线性函子.

用关系范畴可以给出一种严格的叙述.

定义 $\mathsf{Corr}(\mathcal C,E)$ 为如下对称幺半范畴:

对象为 $\mathcal C$ 的对象,
对称幺半结构为 $\mathcal C$ 中的积;
态射为如下的关系 (correspondence),
其中 $g\in E$;
态射的复合如下,
其中方块为拉回.

定义. 三函子体系是松对称幺半函子 $$ D \colon \mathsf{Corr}(\mathcal C,E) \to \mathsf{Cat}. $$

这个简洁的定义囊括了上述所有要素.

对 $X\in\mathcal C$, 该函子给出范畴 $D(X)$.
对 $\mathcal C$ 中任意态射 $f\colon X\to Y$, 对应 $(Y \overset{f}{\leftarrow} X = X)$ 给出拉回函子 $f^*$.
由于 $X$ 是交换余代数 (即 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 中的交换代数, 余乘法为对角线) 而 $D$ 给出松对称幺半函子 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat}$, 故 $D(X)$ 为 $\mathsf{Cat}$ 中的交换代数, 即对称幺半范畴.
对 $E$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 对应 $(X = X \overset{f}{\to} Y)$ 给出函子 $f_!\colon D(X)\to D(Y)$, 并且由于态射 $f$ 给出了 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 中 $X$ 的 $Y$-模结构且 $f\colon X\to Y$ 是 $Y$-模同态, 故 $f_!\colon D(X)\to D(Y)$ 是 $D(Y)$-模同态.
一般地, 对应 $(X\overset{f}{\leftarrow} W \overset{g}{\to} Y)$ 给出 “拉-推” 函子 $g_! f^*\colon D(X)\to D(Y)$.

对称幺半范畴

对称幺半范畴是 $\mathsf{Cat}$ 中的交换代数, 由定义即保持乘积的函子

定理. 对于对称幺半范畴 $\mathcal C$, 积幺半范畴 $\mathcal D$, 松对称幺半函子 $\mathcal C\to\mathcal D$ 等同于函子 $F\colon \mathcal C^\otimes \to \mathcal D$, 满足 $F((X_i)_{i\in I})\simeq\prod_i F(X_i)$.

令 $$ \mathsf{Corr}(\mathcal C,E)^\otimes = \mathsf{Corr}(\mathcal C^\times, E^\times). $$

六函子体系的构造

固定几何语境 $(\mathcal C,E)$, 我们想知道具体如何构造六函子体系 $$ \mathsf{Corr}(\mathcal C,E) \to \mathsf{Cat}. $$

综合数学是抽象代数的范畴化 [synthetic]

2026-02-13

碎碎念. 这篇文章是关于数学的, 但实在太难说它本身是数学, 姑且贴上个 “非数学” 的标签, 以免受人诟病——即便身负数学严格性的重担的人, 当然也是有资格写 “非数学” 散文的. 我写这篇文章的主要目的是为综合数学 “正名”. 但它并未被 “打倒” (实则是并未被关注), 故谈不上真正的正名; 它只是在我个人的经历中, 在登上大雅之堂的途中受到了一点阻碍, 并且消磨了我对它的热情; 而随着阅历更加丰富, 我在对几篇笔记的偶然反刍之下, 对它产生了新的见解, 不得不记录下来, 好给过去与未来的自己一个交代. 但我写这篇文章的理由未必是读者读这篇文章的理由; 站在读者的立场, 这些事情就不必赘述了.

我打算不以综合数学的玄而又玄的讨论来开启这篇文章, 而是谈论些众所周知的事情. ——我们来谈论抽象代数的起源. 我们的目的不是复原历史的脉络, 而是从现代人的视角来反思抽象代数这个学科存在的理由, 然后对这个理由作一种合理的演绎 (如文章的题目所示, 这种演绎叫做范畴化), 来得到综合数学这门学科存在的理由, 这便是我想要记录的新的见解.

所谓代数最初即是在数的运算中, 用符号来代替数的做法. 它最初仅仅是一个从特殊到一般的过程——我们发现 $$ (3+5)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot 5 + 5^2, $$ $$ (4+6)^2 = 4^2 + 2\cdot 4\cdot 6 + 6^2, $$ 于是我们用符号代替一些具体的元素, 写成如下形状的公式, $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, $$ 来表达对任何数普遍成立的规律.

然而随着数学的成熟, 一个细微的观念转变发生了——它是如此细微, 以至于学习现代数学多年的读者们可能都忘了这是一场变革: 用来表示 “一般元素” 的符号 $a,b$, 可以不再表示任何一个具体的元素, 而是变成了完全抽象的, 但仍旧遵循同样规律的东西. 我们开始操作带有这些抽象符号 $a,b$ 的等式, 而不在乎符号之下的内涵, 或者说真正的内涵已经不在那里了: 我们从对具体元素的研究转向了对规律本身的研究.

于是, “代数” 的概念产生了. 一个代数是一些元素的集合, 元素之间可作加法, 乘法等运算, 满足交换律, 结合律, 分配律等性质. 如果仅研究这些运算的规律, 而不依赖于参与运算的元素具体的构造, 那么我们作出的论证就适用于任何一个代数. (若读者有微分几何的相关经验: 这就像是微分几何中若不使用坐标进行计算, 那么计算的结果就适用于任何坐标.) 放弃对一个锚定的具体事物的追求, 反而换来了特殊化到所有具体事物的机会.

学习现代数学多年的读者们, 可能难以体会 “代数” 这样的概念对一个仅学过实数的运算的人有多么陌生. 困难并不在于人的智力不能理解代数的定义, 而在于他们长久以来的信念的动摇: 原来我所认识的这个数的系统不是唯一存在的, 唯一合理的数的系统; 事实恰恰相反, 这种系统要多少就有多少. 例如在一个代数中, 我们可以随心所欲地加入一个满足指定的代数方程的元素. 回想历史上人们对虚数 $i$ 的引入曾产生多么大的抵触: 在实数中加入一个满足 $i^2 = -1$ 的元素, 而这个方程在实数中没有任何道理. 人们不是不能对这个方程进行运算, 而是不能接受自古以来熟悉的系统, 实数的代数 $\mathbb{R}$, 被外来者污染, 以至于失去它不可撼动的地位.

当然, 现在的人们早已不再对各式各样的代数产生恐慌. 复代数几何的基础 $\mathbb{C}$, $p$-进几何的基础 $\mathbb{Z}_p$, 已经是每一个数学家如数家珍的代数对象. 人们研究的代数中的运算也不断丰富, Lie 代数, Poisson 代数, Hopf 代数, … 这些结构在各自的领域中发光发热.

总结从研究实数的运算到研究抽象代数发生的观念转变:

一个代数是一个带有结构的集合, “实数” 不过是那个特殊的代数 $\mathbb{R}$ 的元素;
通过四则运算, 我们不仅是在研究实数的规律, 而且可以研究任何代数中的规律, 不依赖于这些集合中元素的具体形式.

现在提升一个范畴层级, 看看集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质. 它不是一个赤裸的范畴, 正如 $\mathbb{R}$ 不是一个赤裸的集合. 它的对象 (也就是集合) 之间有加法 $+$ 和乘法 $\times$ 的运算: $A+B$ 是两个集合的无交并, 其元素为 $l(a)$ 或 $r(b)$; $A\times B$ 是两个集合的积, 其元素为 $(a,b)$. 加法和乘法都有交换律, 结合律: $A+B\simeq B+A$, $(A+B)+C\simeq A+(B+C)$ 等等. 乘法对加法有分配律: $A\times (B+C) \simeq A\times B + A\times C$. 由此可得 $$ (A+B)^2 \simeq A^2 + 2 \times A\times B + B^2. $$ 很多时候我们对于集合的操作表面上是在操作集合的元素, 实际上是在操作范畴论结构. 例如, 对于映射 $f\colon A\to B$ 以及 $b\in B$, 取出 $A$ 中满足 $f(a) = b$ 的元素 $a$ 构成的集合 $S = \{a\in A\mid f(a) = b\}$, 实际上是在做范畴论中名为拉回的操作: $$ \begin{array} {ccc} S & \to & 1\\ \downarrow & & \downarrow\\ A & \underset{f}{\to} & B. \end{array} $$ 由此可见, 只要一个范畴中具有拉回, 那么 $\{a\in A\mid f(a) = b\}$ 这样的表达式就有意义, 而不需要对象 $A$ 真的是由一个一个的元素组成.

任意量词 $\forall$ 和存在量词 $\exists$ 也不是只在集合范畴中有意义. 它们分别是依值积, 依值和的特例, 而这两者分别是拉回操作 $\mathcal{C}_{/Y} \to \mathcal{C}_{/X}$ 的左右伴随. (更一般地, 每种类型论都有与之相应的范畴论结构. 见三位一体.)

经过如此多的铺垫, 如果我现在告诉读者, 我们自古以来熟悉的这个集合范畴, 并不是唯一存在的, 唯一合理的 “集合的范畴”, 我们使用的数学语言描述的不一定是集合, 而可能是任何适当结构的范畴的对象, 不知读者是否还会像只熟悉实数的古人见到虚数那样感到恐慌.

更关键的是, 就像在抽象代数中我们不需要关心集合中的元素的具体构造一样, 在综合数学中我们不需要关心范畴中的对象的具体构造, 这便是综合数学的核心观念; 这种观念无非是抽象代数的核心观念的一次范畴化.

将集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质抽象出来, 得到一种允许通常数学语言在其中获得语义的范畴的概念, 这就是意象.

在以意象理论为主要表现方式的综合数学中,

一个意象是一个带有结构的范畴, “集合” 不过是那个最基本的意象 $\mathsf{Set}$ 的对象;
通过一阶逻辑, 我们不仅是在研究集合的规律, 而且可以研究任何意象中的规律, 不依赖于这些范畴中对象的具体形式.

我们认为的 “带结构的集合”, 不过是最基本的意象 $\mathsf{Set}$ 中的结构; 而同样的结构发生在任何一个意象中.

换言之, 随着范畴层级的提升, 我们发现自己从那个 “思想开放” 的 “现代人”, 变成了 “抱残守缺” 的 “古人”.

综合数学的一个出现较早的分支是综合微分几何. 它的理论是这样建立的: 首先规定存在一个对象, 称为直线 $R$; 它具有 $0,1$, 加法和乘法, 构成一个代数. 定义一阶无穷小线段 $D$ 是 $R$ 中平方为零的元素的 “集合” $$ D = \{x\in R \mid x^2 = 0\}. $$ 一条重要的公理是: 对任意函数 $f\colon D\to R$, 存在唯一的 $a,b\in R$ 满足对任意 $d\in D$, 有 $f(d) = ad+b$. 对任意 “集合” $M$, 定义其切向量为映射 $v\colon D \to M$; 定义 $M$ 的切丛为 $M^D \to M,v\mapsto v(0)$. 微分几何最重要的概念就这样产生了.

如果认为上述理论谈论的是普通的集合范畴, 就会发现它简直是天方夜谭. 实直线上平方为零的元素只有 $0$, 又怎能表达切向量这样的概念呢? 感兴趣的读者可以进一步阅读综合微分几何讲稿. 结论是, 我们应当认为综合微分几何谈论的是一种满足特定条件的意象中的对象. 综合数学的每一个分支, 都可视为对所讨论的意象作某种约束. 任何一个满足约束的意象都可以作为这个学科的模型, 而这个学科所产生的定理在所有模型中同样成立.

我将目前的类比总结成一个表格.

范畴层级	0	1
对象	实数	集合
语言	四则运算	一阶语言
全体对象	实数的全体 $\mathbb{R}$	集合的全体 $\mathsf{Set}$
抽象概念	代数 = 带结构的集合	意象 = 带结构的范畴¹
约束	代数方程	公理

其实一个范畴构成一个意象这件事是性质而非结构. 不过这里的结构与 “积幺半结构” 中的结构是同一种用法.

表格有没有可能向右延申? 有没有可能, 范畴的 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 不是唯一合理的 “范畴的范畴”, 而是所有的范畴论语言都可以在一个 “$2$-意象” 中解读? 这种语言该如何设计? 我不知道.

函子式代数几何第一节仿射概形 [tutorial-funAG-aff]

教程
SimplicialCat

这里所指的环是含幺交换环, 其中 $1$ 可能等于 $0$. 若 $1=0$, 则环中所有元素都等于 $0$, 记这个环为 $0$.

粗略地说, 对于环 $A$, 我们希望有一个空间 $\operatorname{Spec} A$ 使得 $A$ 的元素可视为 $\operatorname{Spec} A$ 上的函数. 这里, “函数” 不是指 $\mathbb{R}$-值或任何确定的东西上取值的函数, 而是一个纯粹形式上的概念, 我们仅仅希望它满足如下性质:

对于空间之间的映射 $X\to Y$, 由 $Y$ 上的函数可得 $X$ 上的函数.

换言之, “空间” 与 “空间上的函数环” 之间的对应是一个反变函子.

定义. 仿射概形的范畴为环范畴的对偶范畴: $$ \mathsf{Aff} := \mathsf{Ring}^{\mathrm{op}}. $$ 环 $A$ 在对偶范畴中对应仿射概形 $\operatorname{Spec} A$.

需要强调的是 $\operatorname{Spec} A$ 是一个形式的记号, 它不是一个拓扑空间 (至少暂时不是).

由定义, 对于仿射概形之间的映射 $\operatorname{Spec} A\to \operatorname{Spec} B$, 由 $B$ 的元素可得 $A$ 的元素. 这正是我们期望的.

如下是仿射概形范畴的基本范畴论性质:

$\mathsf{Aff}$ 具有始对象 $\varnothing := \operatorname{Spec} 0$.
$\mathsf{Aff}$ 具有终对象 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$.
$\mathsf{Aff}$ 中存在推出, 对应于 $\mathsf{Ring}$ 中的拉回: $$ \operatorname{Spec} A\sqcup_{\operatorname{Spec} B}\operatorname{Spec} C\simeq\operatorname{Spec} (A\times_B C). $$
$\mathsf{Aff}$ 中存在拉回 (纤维积), 对应于 $\mathsf{Ring}$ 中的推出 (张量积): $$ \operatorname{Spec} A\times_{\operatorname{Spec} B}\operatorname{Spec} C \simeq \operatorname{Spec} (A\otimes_B C). $$

例. 在 $\mathsf{Ring}$ 中有 $\mathbb F_2 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb F_3 \simeq 0$, 故在 $\mathsf{Aff}$ 中有 $\operatorname{Spec} \mathbb F_2\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z}}\operatorname{Spec}\mathbb F_3\simeq \varnothing$.

例 (Galois 扩张与主丛). 设 $k$ 为域, $a\in k^\times$ 非平方, $K=k[t]/(t^2-a)$ 为二次扩域. 例如 $k=\mathbb{R},K=\mathbb{C}$. 那么 $\operatorname{Spec} K\to\operatorname{Spec} k$ 是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-主丛. 我们来解释这句话的意思.

首先, $\operatorname{Spec} K$ 上有一个 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-作用 $$ \operatorname{Spec} K\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \operatorname{Spec} K \sqcup \operatorname{Spec} K \to \operatorname{Spec} K $$ (注. 这里 ${-}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 可以理解为 ${-}\times_{\operatorname{Spec} k}(\operatorname{Spec} k \sqcup \operatorname{Spec} k \simeq \operatorname{Spec} k^2)$.) 它就是 $K$ 上的 Galois 群的作用 $$ K \to K^2, \quad x\mapsto (x,\bar x), $$ 其中 $x\mapsto \bar x$ 是 $K$ 上的自同构 $t\mapsto -t$.

进一步, 有同构 $$ \operatorname{Spec} K\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \overset{\simeq}{\longrightarrow}\operatorname{Spec} K \times_{\operatorname{Spec} k}\operatorname{Spec} K. $$ 其中两个分量分别为投影和 Galois 群作用. 换言之, 环同态 $$ K\otimes_k K\to K^2,\quad x\otimes y\mapsto (xy,x\bar y) $$ 为同构.

例. $\mathsf{Aff}$ 中的乘积对应 $\mathsf{Ring}$ 中的余积, 即张量积. 因此 $\mathsf{Aff}$ 中的群对象 $\operatorname{Spec} A$ 相当于环 $A$ 带有一个余结合的余乘法 $m\colon A\to A\otimes A$ 以及余单位 $A\to\mathbb{Z}$, “对径映射” $A\to A$ (这些映射均为环同态), 满足若干等式. 这个结构又称为交换 Hopf 代数.

例 (仿射直线). 称仿射概形 $\mathbb A^1:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ 为仿射直线 (affine line). 对任意仿射概形 $\operatorname{Spec} A$, 映射 $\operatorname{Spec} A \to \mathbb A^1$ 等同于环同态 $\mathbb{Z}[x] \to A$, 因而等同于环 $A$ 的元素. 某种意义上这解释了 “$A$ 的元素等同于 $\operatorname{Spec} A$ 上的函数” 的直观.

例 (仿射空间). 更一般地, 定义 $n$ 维仿射空间 (affine space) $\mathbb A^n$ 为 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]$. 因为 $n$ 元多项式环是 $n$ 个 $\mathbb{Z}[x]$ 的张量积, 所以在 $\mathsf{Aff}$ 中有 $\mathbb A^n\simeq (\mathbb A^1)^n$. 对任意仿射概形 $\operatorname{Spec} A$, 一个映射 $\operatorname{Spec} A \to \mathbb A^n$ 等同于环 $A$ 的 $n$ 个元素.

值得注意的是, $\mathbb A^1$ 是 $\mathsf{Aff}$ 中的环对象, 其加法和乘法映射 $+,\times\colon \mathbb A^2\to \mathbb A^1$ 分别对应 $\mathbb{Z}[x]$ 到 $\mathbb{Z}[y,z]$ 的环同态 $x\mapsto y+z$ 和 $x\mapsto yz$.

例 (环上的仿射空间). 给定环 $R$, 定义 $R$ 上的 $n$ 维仿射空间为 $$ \mathbb A^n_R := \mathbb A^1\times\operatorname{Spec} R \simeq \operatorname{Spec} R[x_1,\cdots,x_n]. $$ 因为 $R[x,y]\simeq R[x]\otimes_R R[y]$, 有 $\mathbb A^2_R \simeq \mathbb A^1_R\times_{\operatorname{Spec} R}\mathbb A^1_R$. 下标 $R$ 是相对代数几何的记号. 在以 $\operatorname{Spec} R$ 为基底 (即在俯范畴 $\mathsf{Aff}_{/\operatorname{Spec} R}$, $\mathsf{Sch}_{/\operatorname{Spec} R}$ 工作) 时 $\mathbb A^1_R$ 的地位就相当于 $\mathbb A^1$ 在 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 为基底时的地位.

例. 环 $R$ 上的一个 $\mathbb{N}$-分次是一个分解 $R= R_0\oplus R_1\oplus\cdots$, 且满足对 $r\in R_n,s\in R_m$ 有 $rs\in R_{n+m}$. 这等价于一个环同态 $$ R \to R[x], \quad (r\in R_n)\mapsto rx^n, $$ 满足复合 $$ R\to R[x]\overset{x=1}{\to} R = \mathrm{id}_R. $$ 翻译到仿射概形, 这等价于映射 $h\colon \operatorname{Spec} R\times\mathbb A^1 \to \operatorname{Spec} R$, 满足 $$ \operatorname{Spec} R \overset{1}{\to} \operatorname{Spec} R \times \mathbb A^1 \overset{h}{\to} \operatorname{Spec} R = \mathrm{id}_{\operatorname{Spec} R}. $$ 又注意到 $R\to R[x]\overset{x=0}{\to}R$ 是 $R$ 到 $R_0$ 的收缩. 因此在 “$\mathbb{A}^1$ 同伦论” 中, 上述结构称为 $\operatorname{Spec} R$ 的恒等映射与 $\operatorname{Spec} R$ 到 $\operatorname{Spec} R_0$ 的收缩之间的 $\mathbb{A}^1$ 同伦.

另外, 环 $R$ 上的 $\mathbb{Z}$-分次相当于乘法群概形 $\mathbb G_m$ 的作用. (见滤与分次的叠观点.)

例 (方程的解空间). 对于多项式 $f\in\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]$, 考虑仿射概形 $$ V(f) := \operatorname{Spec} \big(\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]/(f)\big), $$ 直观上它是多项式方程 $f=0$ 的所有解的空间. 对任意仿射概形 $A$, 一个映射 $\operatorname{Spec} A\to V(f)$ 等同于方程 $f=0$ 在环 $A$ 上的一个解.

当然, 对一般的环的元素 $f\in A$ 也可定义 $$ V(f) := \operatorname{Spec} (A/(f)). $$ 注意到, 元素 $f\in A$ 等同于环同态 $\mathbb{Z}[x]\to A$, 即仿射概形的映射 $\operatorname{Spec} A\to\mathbb{A}^1$, 从而环 $A/(f)$ 也可写成 $A\otimes_{\mathbb{Z}[x]}\mathbb Z$, 即 $V(f)$ 是如下的拉回. $$ \begin{array} {ccc} V(f) & \to & \operatorname{Spec}\mathbb{Z} \\ \downarrow && \downarrow \scriptsize{0}\!\!\\ \operatorname{Spec} A &\underset{f}{\to}& \mathbb{A}^1 \end{array} $$ 某种意义上这解释了 “$V(f)$ 是 $f$ 的零点集” 这一直观.

对于一族多项式 $f_1,\cdots,f_m\in\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]$ 生成的理想 $I$, 定义 $$ V(I) := \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]/I $$ 直观上是方程组 $f_1=0,\cdots,f_m=0$ 的解的空间.

对于理想 $I,J$, $$ V(I)\times_{\mathbb A^n}V(J) \simeq V(I+J), $$ 意思是两个方程组的解空间相交, 给出两者的公共解的空间.

“方程的解的空间” 可以抽象为如下的概念.

定义 (仿射概形的闭嵌入). 对于环 $A$ 的理想 $I$, 称商映射 $A\to A/I$ 对应的仿射概形的态射 $f\colon \operatorname{Spec} (A/I)\to \operatorname{Spec} A$ 为闭嵌入.

仿射概形的闭嵌入的概念不依赖于拓扑空间的概念. 不过在使用拓扑空间的观点时, 它确实构成概形的底层拓扑空间的闭子空间. 后面介绍的 “开嵌入” 同样不依赖于拓扑空间的概念; 但开嵌入的定义稍复杂一些, 并且仿射概形的开嵌入不一定是仿射概形.

例 (局部化). 环 $A$ 对一个元素 $f\in A$ 的局部化是 $A[f^{-1}] = A[x]/(xf-1)$. 定义 “标准开集” $D(f)$ 为仿射概形 $$ D(f) := \operatorname{Spec} (A[f^{-1}]). $$ 其直观上是函数 $f$ 取值非零处. 这个直观有如下的解释. 元素 $f\in A$ 相当于环同态 $\mathbb{Z}[x]\to A$, 也即仿射概形的映射 $\operatorname{Spec} A\to\mathbb A^1$. 环 $A[f^{-1}]$ 可以写成 $A\otimes_{\mathbb{Z}[x]}\mathbb{Z}[x][x^{-1}]$, 而 $\operatorname{Spec} \mathbb {Z}[x][x^{-1}]$ 可以写成 $\mathbb{A}^1\setminus 0$. 因此 $D(f)$ 是如下的拉回. $$ \begin{array} {ccc} D(f) & \to & \mathbb A^1 \setminus 0 \\ \downarrow && \downarrow \scriptsize{0}\!\!\\ \operatorname{Spec} A &\underset{f}{\to}& \mathbb{A}^1 \end{array} $$

另一种看法是, $D(f)$ 是 $V(f) = \operatorname{Spec} A/(f)$ 在 $\operatorname{Spec} A$ 中的补空间. 可以验证 $V(f)$ 与 $D(f)$ 的交确实为空: $$ \begin{aligned} &D(f)\times_{\operatorname{Spec} A}\operatorname{Spec} A/(f) \\&\simeq \operatorname{Spec} (A[f^{-1}]\otimes_A A/(f))\\&\simeq\operatorname{Spec} 0 = \varnothing. \end{aligned} $$

例. 设 $e,f\in A$, 满足 $e+f=1,ef=0$. 那么 $A/(e)\simeq A[f^{-1}]$, $A/(f)\simeq A[e^{-1}]$, 且 $$ A\simeq A/(e) \times A/(f)\simeq A[e^{-1}]\times A[f^{-1}]. $$ 写成仿射概形即 $V(e)\simeq D(f)$, $V(f)\simeq D(e)$, 且 $$ \operatorname{Spec} A \simeq V(e)\sqcup V(f)\simeq D(e)\sqcup D(f). $$

例 (切向量). 考虑仿射概形 $D=\operatorname{Spec} \mathbb{R}[\epsilon]/(\epsilon^2)$, 它是由 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{R}}=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ 中 “平方为零的元素” 构成的子空间; 因此可以想象它是一条无穷小的线段. (这里 $\mathbb{R}$ 可以换成任何环, 没有本质的作用, 只是 $\mathbb{R}$ 比较贴近直观.) 环同态 $\mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)\to\mathbb{R},\epsilon\mapsto 0$ 对应于 “基点” $0\colon \operatorname{Spec} R\to D$.

对于 $\mathbb{R}$-概形 $X$, 映射 $D\to X$ 称作 $X$ 的切向量. 切向量的基点就是 $\operatorname{Spec} \mathbb{R}\overset{0}{\to}D\to X$. 例如 $X=\operatorname{Spec} \mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-25)$ 在点 $(x,y)=(4,3)$ 处有一切向量 $D\to X$, $\epsilon\mapsto (4-3\varepsilon,3+4\varepsilon)$, 即由环同态 $$ \mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-25) \to \mathbb{R}[\epsilon]/(\epsilon^2), $$ $$ x\mapsto 4-3\epsilon,\ y\mapsto 3+4\epsilon $$ 给出.

下降 [下降]

观念
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基本设定

下降的概念来自几何学中各种结构沿覆盖映射的 “粘合”.

这里所说的结构, 就是对每个几何对象 $X$ 赋予一个范畴 $\mathcal C_{X}\in \mathsf{Cat}$, 且对每个态射 $f\colon Y\to X$ 可作拉回 $f^*\colon \mathcal C_Y\to\mathcal C_X$. 这种结构又称为纤维范畴. 常见的 “结构” 包括向量丛, 层, 以及相对观点的几何对象 (此时范畴 $\mathcal C_{X}$ 往往就是俯范畴 $\mathcal C_{/X}$).

常常还要求可作推前 $f_!\colon \mathcal C_X\to\mathcal C_Y,$ 满足 $f_! \dashv f^*.$ 这种结构又称为双纤维化 (bifibration).

设 $f\colon Y\to X$ 是某种 “覆盖”, 例如 $X$ 为拓扑空间, $Y = \bigsqcup U_i$ 是 $X$ 的若干开集构成的开覆盖, 那么对于 $Y$ 上的一个结构 $\mathcal F_Y\in\mathcal C_Y$, 我们可以问它是否来自 $X$ 上的某个对象 $\mathcal F_X$ 的拉回 $$ \mathcal F_Y \simeq f^* \mathcal F_X. $$ 进一步, 若 $\mathcal F_Y$ 具有某性质, 我们可以问是否 $\mathcal F_X$ 也有同样的性质.

Čech 脉

一般而言, 几何对象 $X,Y$ 是某个意象的对象, 或者这类几何对象的范畴至少可以嵌入到某个意象中. 对于意象中的满射 $f\colon Y\to X$, 我们知道 $X$ 可以表现为 $f$ 的 Čech 脉的几何实现 $$ X = \operatorname{colim}\big(\cdots \to^3 Y\times_X Y \rightrightarrows Y \big). $$ 这可以理解为用 $Y$ 及其相对于 $X$ 的各阶自相交 “粘出” $X$ 的具体方法.

一族相容的结构 $$ \mathcal F_Y, \mathcal F_{Y\times_X Y},\cdots $$ 称为沿态射 $f\colon Y\to X$ 的一份下降资料 (descent datum). 下降资料的范畴是余单纯极限 $$ \mathsf{Desc}(f):= \operatorname{lim} \big(\mathcal C_Y \rightrightarrows \mathcal C_{Y\times_X Y} \to^3 \cdots\big). $$

对于许多种结构, 我们有理由希望下降资料能够给出 $\mathcal F_X$, 即比较函子 $\mathcal C_X\to\mathsf{Desc}(f)$ 为等价.

例如在意象中, 俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 的下降性质就是意象的一种定义.

单子式下降

Bénabou 与 Roubaud 的文章 Monades et descente (单子与下降) 指出在适当的 Beck–Chevalley 条件下, 沿态射 $f$ 的下降资料可以转化为单子 $f^*f_!$ 的代数.

回忆, 伴随 $f_! \dashv f^*$ 诱导了 $\mathcal C_Y$ 上的单子 $T_f := f^*f_!\colon \mathcal C_Y \to \mathcal C_Y.$ 参见伴随给出单子.

考虑拉回图 $$ \begin{CD} Y\times_X Y @>{\mathrm{pr}_1}>> Y \\ @V{\mathrm{pr}_0}VV @VV{f}V \\ Y @>>{f}> X \end{CD} $$ 给出的 Beck–Chevalley 基变换 $$ (\mathrm{pr}_1)_!\mathrm{pr}_0^* \to f^* f_! = T_f, $$

假设 1. 上述变换为同构.

在假设 1 之下,

todo

俯意象 [俯意象]

百科
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定义

意象的俯范畴仍是意象, 称之为俯意象 (over-topos).

性质

函子性

俯意象的构造 $X\mapsto\mathcal C_{/X}$ 给出函子 $$ \mathcal C \to \mathsf{Topos}_{/\mathcal C}. $$ 对于 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 相应的俯意象的几何态射 $(f^*\dashv f_*)\colon \mathcal C_{/X} \to \mathcal C_{/Y}$ 为本质几何态射.

极限和余极限

和一般的俯范畴一样,

俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 中的极限等同于 $\mathcal C$ 中的原图表加上各对象到 $X$ 的态射后所得图表的极限. 例如 $\mathcal C_{/X}$ 中 $Y\to X, Z\to X$ 的积是 $\mathcal C$ 中 $Y \to X \leftarrow Z$ 的拉回.
俯意象中的余极限等同于原意象中的余极限.

例如

俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 中的球面 $S^n$ 为 $S^n\times X \to X$ (因为球面是由终对象出发经过 $n$ 次推出构造的).

指数对象

俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 中的指数对象为 $$ p^q = q_* q^* p. $$

下降

俯意象函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X} $$ 保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有 $$ \mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}. $$ 这一事实甚至可以作为意象的定义.

与几何态射的互动

对于意象之间的几何态射 $f\colon \mathcal E \to \mathcal S$ 与 $\mathcal S$ 的对象 $X$, 有几何态射 $$ f_{/X} \colon \mathcal E_{/f^*X} \to \mathcal S_{/X}. $$

俯范畴 [俯范畴]

百科
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观念

俯范畴是表达相对观念的一种方式.

定义

…

俯范畴是逗号范畴的一种.

性质

极限, 余极限

俯范畴 $\mathcal C_{/X}$ 中的极限等同于 $\mathcal C$ 中的原图表加上各对象到 $X$ 的态射后所得图表的极限. 例如 $\mathcal C_{/X}$ 中 $Y\to X, Z\to X$ 的积是 $\mathcal C$ 中 $Y \to X \leftarrow Z$ 的拉回.
俯范畴中的余极限等同于原范畴中的余极限.

关系 2-范畴 [关系2-范畴]

百科
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定义

设 $\mathcal C$ 是有拉回的范畴, 则可定义一个 $2$-范畴 $\mathsf{Corr}(\mathcal C)$, 称为关系 $2$-范畴 ($2$-category of correspondences), 其对象为 $\mathcal C$ 的对象, $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Corr}(\mathcal C)}(X,Y) = \{X \leftarrow Z \to Y\}. $$

带一类特殊态射的关系范畴

设 $\mathcal C$ 是一类几何对象的范畴, $E$ 是其中的一类态射, 满足如下条件:

$\mathcal C$ 有有限极限;
$E$ 包含所有同构, 且在拉回, 复合与对角操作下稳定.

定义 $\mathsf{Corr}(\mathcal C,E)$ 为如下对称幺半范畴:

对象为 $\mathcal C$ 的对象,
对称幺半结构为 $\mathcal C$ 中的积;
态射为如下的关系 (correspondence),
其中 $g\in E$;
态射的复合如下,
其中方块为拉回.

例. $\mathsf{Corr}(\mathcal C,\mathrm{Isom}) \simeq \mathcal C^{\mathrm{op}}$.

分层 [分层]

百科
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观念

空间上的分层 (stratification) 是将其分解为一个偏序集参数化的若干子空间的方法. 更具体地, 拓扑空间 $X$ 上的分层是其到偏序集的映射 $X \to P$, 其中 $P$ 带有 Alexandroff 拓扑; 这意味着对 $X$ 的任何一点 $x$, 在足够小的邻域之内, 点的层次都不小于 $x$ 的层次.

分层空间常用于描述带有 “奇点” 的空间, 如奇性代数簇.

分层空间可用于表现范畴. 见分层空间与范畴.

定义

分层空间是拓扑空间 $X$ 带有到某个偏序集 $P$ 的连续映射, 其中 $P$ 带有 Alexandroff 拓扑, 即开集为向上封闭集, 闭集为向下封闭集. 分层空间的范畴为 $$ \mathsf{Strat} := \mathsf{Top}/\mathsf{Alex}. $$

有些作者 (如 Heidemann) 的定义还对分层有更多要求:

$X\to P$ 为满射;
$X$ 带有所有分层单形到它的映射的终拓扑, 这意味着脉–实现伴随 (见后文) 的余单位 $|{\operatorname{Exit}(X)}|\to X$ 是同构, 即 $X$ 的拓扑能被出路单纯集重构.

分层空间之间的映射为交换方块 $$ \begin{array}{ccc} X & \rightarrow & Y \\ \downarrow & & \downarrow \\ P_X & \rightarrow & P_Y. \end{array} $$

若 $X\to Y$ 为同构而 $P_X \to P_Y$ 为满射, 则称 $X$ 为 $Y$ 的细化 (refinement);
若该方块为拉回且 $P_X\to P_Y$ 为单射, 则称 $X$ 为 $Y$ 的可构造子空间 (constructible subspace).

定义一个分层空间 $X\to P$ 的深度为偏序集 $P$ 中最长严格递增链的长度.

性质

分层空间的任何开子空间继承分层结构.

例

区间

区间 $[0,1]$ (或左闭右开区间 $[0,1)$) 是个分层空间, 点 $0$ 是一层, 剩下的部分是一层. 这个分层对应映射 $[0,1] \to \{\bot,\top\}$, $0\mapsto\bot$, $x\mapsto\top\,(x>0)$.

分层空间的映射 $[0,1]\to X$ 称为分层空间 $X$ 的出路 (exit path). 见出路范畴.

锥

对任意分层空间 $X\to P$, 定义其闭锥为分层空间 $$ \frac{X\times [0,1]}{X\times \{0\}}\to P^{\triangleleft} $$ (若将 $[0,1]$ 替换为 $[0,1)$, 则称为开锥), 其中 $P^{\triangleleft}$ 表示 $P$ 上的左锥.

注意空集的锥为单点.

单形

对于自然数 $n$, 拓扑 $n$ 维单形 $|\Delta^n|$ 上的锥为 $|\Delta^{n+1}|$, 这归纳地给出了拓扑单形上的分层结构 $$ (|\Delta^n| \to [n]) \in \mathsf{Strat}, $$ 进而有单纯形范畴到分层空间范畴的嵌入 $$ \Delta \to \mathsf{Strat},\,[n]\mapsto (|\Delta^n|\to [n]). $$

该嵌入的脉函子称为出路单纯集函子 $$ \operatorname{Exit}\colon \mathsf{Strat} \to \mathsf{sSet}, $$ 其左伴随为几何实现 $$ |{-}| \colon \mathsf{sSet} \to \mathsf{Strat}. $$

群作用

对于拓扑空间 $X$ 上的有限群作用, 根据各点 $x\in X$ 的稳定子可给出 $X$ 上的分层.

碰撞与构形空间

对于拓扑空间 $X$ 与有限集 $I$, 空间 $X^I$ 可以根据点的碰撞来分层, 最上层为 $I$ 个点的 (有序) 构形空间.

另见 Ran 空间.

可扩展性 [可扩展性]

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限和 (包括始对象).

称范畴 $\mathcal C$ 可扩展 (extensive) 是指如下等价条件成立:

对任意对象 $X,Y$, “求和函子” $\mathcal C_{/X} \times\mathcal C_{/Y} \to \mathcal C_{/(X+Y)}$, $(Z_1\to X, Z_2\to Y) \mapsto (Z_1+Z_2 \to X+Y)$ 为等价;
对任意对象到和的嵌入 $X \to X+Y$, 沿该映射总能作拉回 $\mathcal C_{/(X+Y)} \to \mathcal C_{/X}$; 且两个对象 $X,Y$ 作为 $X+Y$ 的子对象的交为 $0$ (始对象).

假设第一个条件成立, 那么 “求和函子” 的逆给出了沿 $X\to X+Y$, $Y\to X+Y$ 的拉回; 特别地, 因为 $Y\to X+Y$ 是 $0\to X$ 与 $Y\to Y$ 的和, 所以它拉回到 $X,Y$ 上的结果分别为 $0\to X,Y\to Y$. 故 $X,Y$ 作为 $X+Y$ 的子对象的交为 $0$.

假设第二个条件成立, 那么对任意态射 $Z\to X+Y$, 可分别将其拉回到 $X,Y$ 上, 这给出了函子 $\mathcal C_{/(X+Y)} \to \mathcal C_{/X} \times\mathcal C_{/Y}$.

基变换 [基变换]

百科
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基变换是相对观点在不同基底空间之间的转换.

Beck–Chevalley 基变换条件保证了拉-推构造的函子性.

定义

对于 $2$-范畴中的交换方块 $$ \begin{array} {ccc} Z & \overset{v}{\to} & X \\ \!\!\!\!\!\! {}^{g}\downarrow && \downarrow {}^{f} \!\!\!\!\! \\ W & \underset{u}{\to} & Y \end{array} $$ 若 $v,u$ 各有右伴随 $v^R,u^R$, 则由 $2$-态射 $$ ugv^R = fvv^R \to f $$ 可得如下 $2$-态射, 称为 Beck–Chevalley 基变换: $$ \mathrm{BC}\colon gv^R \to u^R f. $$ 当 $\mathrm{BC}$ 为自然同构时称上述交换图满足基变换条件 (或称 Beck–Chevalley 条件).

例

几何对象的拉回

基变换常常来自几何对象的拉回. 对于拉回图 $$ \begin{array} {ccc} X' & \overset{u'}{\to} & X \\ \!\!\!\!\!\! {}^{f'}\downarrow && \downarrow {}^{f} \!\!\!\!\! \\ Y' & \underset{u}{\to} & Y \end{array} $$ 有自然变换 $$ u^* f_* \to f'_* u^{\prime *}, $$ 称为基变换映射. 在许多条件下这个映射是同构.

意象中的基变换

意象中的俯意象之间的拉回有左右伴随, 且满足 Beck–Chevalley 条件.

平坦基变换

若 $u$ 为平坦态射, 则基变换映射为同构. 这个事实的一个应用是 Kunneth 公式 $$ \Gamma(E\boxtimes F)\simeq \Gamma E\otimes \Gamma F. $$

预层范畴

对于 (局部小) 范畴 $\mathcal C$, 其为余完备范畴当且仅当米田嵌入 $\mathrm{y}\colon \mathcal C\to\mathsf{Psh}(\mathcal C)$ 有左伴随 $L\colon \mathsf{Psh}(\mathcal C)\to\mathcal C$. 对任意图表 $X\colon I\to\mathcal C$, $$ L(\operatorname{colim}(\mathrm{y}\circ X)) =\operatorname{colim} X. $$ 换言之, $L$ 的作用即是把 “形式余极限” 实现为 $\mathcal C$ 中真正的余极限.

考虑两个余完备范畴之间的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$. 交换方块 $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Psh}(\mathcal C) & \overset{F_!}{\rightarrow} & \mathsf{Psh}(\mathcal D) \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathcal C & \underset{F}{\rightarrow} & \mathcal D \end{array} $$ 给出 Beck–Chevalley 基变换 $$ L_D F_! \to F L_C, $$ 因此对任意图表 $X\colon I\to \mathcal C$ 有自然变换 $$ \operatorname{colim}_i F(X_i) \to F(\operatorname{colim}_i X_i). $$ 可见 Beck–Chevalley 基变换为同构当且仅当 $F$ 保持余极限.

意象 [意象]

百科
SimplicialCat

观念

作为集合范畴的推广

意象 (topos) 是一种具有类似集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质的范畴; 这些性质使得意象的内语言能够支持集合的许多操作, 如构造两个集合 $X,Y$ 的无交并 $X + Y$, 乘积 $X\times Y$, 映射的集合 $Y^X$ 等等.

用这种观念看待的意象称为大意象.

不过需要注意的是, 意象的内语言所支持的逻辑是直觉主义逻辑, 而不一定是经典逻辑 (见 Boole 意象), 其中排中律和选择公理可能不成立. 例如拓扑空间上的层意象一般不是 Boole 意象, 原因来自于开集的补集不一定是开集.

没有人能将我们驱逐出 Contor 为我们创造的 (集合论的) 天堂. —— David Hilbert (1926)

而意象理论告诉我们, 在集合论的天堂之外还有无穷无尽的世界, 而集合的世界只是这片无穷无尽的森林中的第一棵树.

类似地, $(\infty,1)$-意象是类似于生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 的范畴, 其内语言提供了处理同伦型的直觉主义语言, 即同伦类型论.

我们甚至可以期待 $(\infty,2)$-意象提供了 “范畴的范畴” $\mathsf{Cat}$ 的推广, 以及相应的语言.

作为几何对象

意象虽然按定义是一个范畴, 但从 Grothendieck 开始, 人们都将其想象为一种几何对象. 那个范畴是这个假想的几何对象上的层范畴. 对于意象之间的态射 $$ f\colon \mathcal X\to\mathcal Y, $$ 其按定义是一对伴随 $f^* \dashv f_*$, 我们也应将其想象为假想的几何对象上层的拉回与推前.

用这种观念看待的意象称为小意象.

L’objet de la Topologie est l’étude des topos (et non des seuls espaces topologiques).

拓扑学的目标是研究意象, 而不仅是拓扑空间.

—— Grothendieck, SGA 4

高阶意象虽然按定义是个高阶范畴, 但它同样可想象为几何对象; 那个范畴是这个假想的几何对象上的生象值 (甚至范畴值) 层的范畴.

关于译名 “意象”

关于译名“意象“

定义

Grothendieck 意象

SGA 4 最早引入了 “意象 (topos)” 这一概念, 后来为了区分另一个稍有不同的概念, 称之为 Grothendieck 意象.

定义. Grothendieck 意象是指某个景上的层的范畴.

这一定义体现了意象作为几何对象的观念. 通常几何对象上具有 “开集” 与 “覆盖” 的概念, 形成景的结构; 那么这个景上的层的范畴可以视为该几何对象在意象理论中的化身.

定义. Grothendieck 意象是某个预层范畴的正合局部化.

Giraud 公理

据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这一定义说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.

定义. 称范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:

$\mathcal C$ 为可表现范畴;
$\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
$\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
$\mathcal C$ 中的满射均为有效满射.

初等意象

逻辑学家从内语言的视角出发考虑了初等意象的概念. Grothendieck 意象都是初等意象, 但反之不然.

定义. 初等意象 (elementary topos) 是满足如下条件的范畴 $\mathcal C$:

$\mathcal C$ 中存在有限极限;
$\mathcal C$ 是积闭范畴;
$\mathcal C$ 中存在子对象分类子 $\Omega$.

初等意象的概念与 Grothendieck 意象最显著的区别在于去掉了可表现范畴的条件. 例如有限集的范畴 $\mathsf{Fin}$ 是初等意象, 而不是可表现范畴 (从而不可能是 Grothendieck 意象).

不过, 一般人们还是讨论可表现范畴与 Grothendieck 意象. 所以在后文 (以及单纯百科的其它页面) 中我们用 “意象” 来代指 Grothendieck 意象.

下降观点

参考 Cnossen.

意象的范畴论性质还可以更加简洁地概括为余极限上的俯意象的性质, 称为沿余极限的下降. 具体的定义如下.

定义. 意象是满足如下条件的可表现范畴 $\mathcal C$: 俯意象函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X} $$ 保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有 $$ \mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}. $$

注 1. 上述定义中俯范畴的极限有如下计算方式: 对于 $X_\bullet \colon I\to\mathcal{C}$, $$ \operatorname{lim}_i \mathcal{C}_{/X_i} \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}, $$ 其中 $\mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}$ 是函子与 “拉回变换” (自然性所需的方块均为拉回方块的自然变换) 构成的范畴.

注 2. 可以具体写下两个方向的函子; 在具有拉回和余极限的范畴中这两个函子构成一对伴随; 其中

左伴随部分为 $\operatorname{colim} \colon \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}\simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}\to \mathcal{C}_{/X}$, $$ (Y_\bullet\to X_\bullet)\mapsto (\operatorname{colim}_i Y_i \to \operatorname{colim}_i X_i). $$
右伴随部分 $\mathcal{C}_{/X} \to \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}$ 是沿着每个 $X_i\to X$ 基变换.

我们观察伴随的单位和余单位.

单位: 对拉回变换 $Y_\bullet \to X_\bullet$, 对每个 $j\in I$, 单位给出同构 $$ Y_j \to (\operatorname{colim}_i Y_i)\times_{\operatorname{colim}_i X_i} X_j. $$
余单位: 对 $Y\to X$, 记 $Y_i$ 为其沿 $X_i\to X$ 的拉回, 余单位给出同构 $$ \operatorname{colim}_i(Y_i) \simeq Y. $$ 换一种观点看待这个同构, 即沿 $Y\to X$ 的拉回保持余极限.

例.

$\mathcal C_{/0} \simeq *$;
$\mathcal C_{/(X+Y)} \simeq \mathcal C_{/X} \times \mathcal C_{/Y}$. 这个性质又叫可扩展性.
($\infty$-范畴语境下) $\mathcal{C}_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{[n]\in\Delta}\mathcal{C}_{/G^n}$. 见群作用.
($\infty$-范畴语境下) 对于生象 $A$, $\mathcal{C}_{/\operatorname{colim}_A *} \simeq \operatorname{lim}_A \mathcal{C} \simeq \mathsf{Fun}(A,\mathcal{C})$.

性质

指数对象与幂对象

意象中的两个对象 $X,Y$ 之间可构造指数对象 $Y^X$ 与赋值映射 $\operatorname{ev}\colon Y^X\times X \to Y$, 满足伴随 $$ \operatorname{Hom}(Z,Y^X) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y). $$

对象 $X$ 的幂对象 $PX = \Omega^X$ 是幂集的类比, 满足 $\operatorname{Sub}(X\times Y)\simeq \operatorname{Hom}(Y,PX)$, 换言之, $PX$ 是 $\operatorname{Sub}(X\times -)$ 的表示对象.

分类意象

大致上, 意象上的每种 “结构” 都有一个分类意象 $\mathcal K$, 即意象 $\mathcal X$ 上的这种结构等同于态射 $\mathcal X \to \mathcal K$.

例

层意象

层意象 $\operatorname{Sh}(X)$, “由 $X$ 连续参数化的一族集合”;

预层意象

预层意象 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$, “由小范畴 $C$ 参数化的集合”.

预层意象又有如下重要例子:

箭图的范畴;
单纯集的范畴;
$\mathsf {Set}^{\mathbb N}$, “随时间变化的集合”;
…

位象

位象, 又称 $0$-意象.

初等意象

有限集范畴 $\mathsf{Fin}$
$\mathsf {FinOrd}$, 有限基数的范畴, 其中指数是通常的指数;

推出 (一种余极限) [推出]

百科
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定义

推出是以 $$ \bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet $$ 为指标范畴的余极限, 是拉回的对偶.

同伦类型论

在同伦类型论中, 对于类型 $X,Y$ 以及 $Q\colon X\to Y \to\mathsf{Type}$, 定义推出 $X \sqcup_Q Y$ 为如下高阶归纳类型:

$\mathsf{left} \colon X \to X\sqcup_Q Y$
$\mathsf{right} \colon Y \to X\sqcup_Q Y$
$\mathsf{glue}\colon \prod_{x\colon X}\prod_{y\colon Y} Q(x,y) \to (\mathsf{left}\,x =\mathsf{right}\,y)$

推前, 拉回 (纤维范畴) [推前]

百科
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对于基范畴 $\mathcal B$ 上的范畴 $p\colon \mathcal E \to \mathcal B$, 推前 (pushforward) 和拉回 (pullback) 指的是 $\mathcal B$ 中态射的有某种万有性质的提升. 具有一切推前或拉回的范畴称为纤维范畴.

范畴论拉回是上述概念的特例.

定义

设有基范畴 $\mathcal B$ 上的范畴 $p\colon \mathcal E \to \mathcal B$. 设 $\mathcal B$ 中的态射 $X\to Y$ 提升为 $\mathcal E$ 中的态射 $\tilde X\to \tilde Y$.

若对任意态射 $\tilde{Z}\to \tilde{Y}$, 任意 $Z=p(\tilde{Z})\to X$, 以及 “交换图” $$ \begin{array} {ccccc} \tilde{Z}&\to&\to\\ | &&&\searrow\\ Z&&\tilde{X}&\to &\tilde{Y}\\ &\searrow& | && |\\ &&X & \to & Y \end{array} $$ (其中上下两部分通过函子 $p$ 相联系), 存在唯一的态射 $\tilde{Z}\to\tilde{X}$ 使之交换, 则称 $\tilde{f}\colon \tilde{X}\to\tilde{Y}$ 为拉回.

称对偶 $p^{\mathrm{op}}\colon \mathcal E^{\mathrm{op}} \to\mathcal B^{\mathrm{op}}$ 中的拉回为 $p$ 中的推前.

例

对于陪域纤维化 (codomain fibration) $\mathcal B^{\to} \to \mathcal B$, 拉回态射等同于范畴论拉回.

有效满射 [有效满射]

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有拉回以及单纯余极限.

对于 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon Y\to X$, 若 Čech 脉 $$ \mathrm{\v{C}}(f)=(\cdots Y\times_X Y\rightrightarrows Y) $$ 的几何实现为 $X$, 则称 $f$ 为有效满射.

性质

意象中的满射

在 $\infty$-意象中有效满射的概念等同于满射. 见意象中的满射.

松拉回 [松拉回]

观念

松拉回, 又叫有向纤维积 (oriented fiber product), 是一种松极限, 是拉回 (纤维积) 在高阶范畴中的推广.

定义

树 (范畴论) [树]

观念

树是表达 “多个对象到一个对象的态射” 以及这种态射的复合所需的基本结构. 因此, 可被树探测的对象 (即树形对象) 给出算畴 (多重范畴) 的一种定义.

这里所说的树特指有限, 有根 (rooted), 对称 (即一个节点上的边不计顺序) 的树.

定义

通过结点和边

树由结点 (vertex), 内边 (internal edge) 和外边 (external edge) 构成, 内边是两个结点之间的边, 外边是仅联系到一个结点的边; 每个结点有若干个 (可能是零个) 入边和一个出边. 整个树有一个唯一的根 (root), 即唯一指向外部的出边. 外部的入边称为叶 (leaf).

上图是一棵树的例子, 其中

$g$ 是根,
$e$ 是一个叶, 是外边, 是结点 $w$ 的入边,
$f$ 是内边, 是结点 $v$ 的出边, 也是结点 $w$ 的入边.

注意, 我们不要求树可以画在平面上. 同一结点的所有入边之间没有顺序.

作为偏序集

树的所有边的上下关系构成一个偏序. 具体地, 树可定义为满足如下条件的 (有限) 偏序集 $(P,\leq)$:

$P$ 有最小元 $\bot$ (即树的根);
对任意 $x\in P$, 不超过 $x$ 的元素的子集构成一个全序.

此时 $P$ 的极大元 (可能不唯一) 即是树的叶.

作为递归嵌套结构

树有一种递归定义:

平凡树 $\{\}$ 是树;
若 $x_1,\cdots,x_n$ 是树, 那么 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 也是树.

作为多项式

树还可以简洁地定义为 “多项式” (这个名词的直观参见多项式函子): $$ E\overset{s}{\leftarrow} M \overset{p}{\rightarrow} N \overset{t}{\to} E, $$ 其中

$E$ 是边的集合;
$N$ 是顶点的集合, $t\colon N\to E$ 给出顶点的唯一出边, 要求 $t$ 为单射;
$M$ 是边与顶点之间的 “入边” 关系, 分别带有到 $E$ 和 $N$ 的投影, 满足 $s\colon M\to E$ 为单射, 且 $E\setminus M$ 只有一个元素, 即树的根.

注意即使在生象语境中, 我们也要求树的定义中 $E,M,N$ 是集合 ($0$-截断生象). 因为上述定义中涉及的差集只对集合有意义.

但对于任意多项式函子 $P$ (其分量未必为集合) 我们可以定义 $P$-树, 即树 (作为多项式函子) 到 $P$ 的态射. 这里, 多项式 $X\overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\to} Y$ 中, $p\colon E\to B$ 的纤维要求为集合.

树的态射

树 $S$ 到 $T$ 的映射是如下资料:

将 $S$ 的每个结点 $n$ 对应到 $T$ 的一个子树 (例如下图中蓝色结点对应到右边蓝圈中的子树), 满足结点 $n$ 的入边数等于该子树的叶数;
将 $S$ 的每个边对应到 $T$ 的一个边, 且与结点的对应相容.

树的态射由如下几种基本态射生成:

树的同构;
退化 (degeneracy) $S \twoheadrightarrow T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 在一条边中间插入一个新结点所得 ($S$ 的这个新结点对应到无结点的子树);
内部面映射 (inner face map) $S \hookrightarrow T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 缩合一条内边所得;
外部面映射 (outer face map) $S \to T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 剪除一个外顶点 (仅关联一条内边的顶点) 所得;

另一种概念性的理解是将树理解为特殊的多项式, 考虑多项式函子之间的态射 $$ \begin{CD} E @<{s}<< M @>{p}>> N @>{t}>> E \\ @VVV @VVV \square @VVV @VVV \\ E' @<<{s'}< M' @>>{p'}> N' @>>{t'}> E', \end{CD} $$ 其中标记 $\square$ 的方块为拉回. 换言之, 树的这种态射要保持 $p\colon M\to N$ 的纤维, 也即每个结点的入边的数量. 但这样定义的只是树的态射中的一部分, 即树的含入映射 (Kock 的 $\mathsf{TEmb}$), 又称惰性 (inert) 映射 (GHK 中的 $\Omega_{\mathrm{int}}$, 也即算畴的代数模式中的惰性映射).

例. 树的每个边给出一个含入 $$ \begin{array}{ccccccc} 1 & \leftarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & 1 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ E & \leftarrow & M & \rightarrow & N & \rightarrow & E, \end{array} $$ 每个结点给出一个含入 $$ \begin{array}{ccccccc} K+1 & \leftarrow & K & \rightarrow & 1 & \rightarrow & K+1 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ E & \leftarrow & M & \rightarrow & N & \rightarrow & E, \end{array} $$ 其中 $K$ 是 $p\colon M\to N$ 在 $1\to N$ 处的纤维, 即该结点的入边的全体.

要得到树的全部态射需要考虑多项式函子生成的自由单子.

命题. 树 $T$ 的自由单子是多项式 $$ E\leftarrow\operatorname{Sub}(T)'\to\operatorname{Sub}(T)\to E $$ 给出的函子. 其中 $E$ 是 $T$ 的边集, $\operatorname{Sub}(T)$ 是 $T$ 的子树的集合, $\operatorname{Sub}'(T)$ 是带一个特殊标记的子树的集合, 到 $E$ 的映射给出子树的根.

因此, 树 $S$ 到 $T$ 的映射恰好等同于 $S$ 对应的多项式函子到 $T$ 的自由单子的态射.

例

线性树

线性树是形如 $$ \begin{array} {c} \downarrow\\ \bullet\\ \downarrow\\ \bullet\\ \vdots\\ \bullet\\ \downarrow \end{array} $$ 的树. 这给出单纯形范畴到树的范畴的嵌入 $$ \Delta \hookrightarrow \Omega. $$

正交分解系 [正交分解系]

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定义

命题-定义. 对于范畴 $\mathcal C$ 的宽子范畴 (包含所有对象的子范畴) $L,R$, 若以下等价条件成立, 则称 $(L,R)$ 为正交分解系 (orthogonal factorization system):

$(1)$ 对任意对象 $x,y\in\mathcal C$, 映射 $$ (-\circ -)\colon \operatorname{colim}_{z\in\mathcal C^{\simeq}}\operatorname{Hom}_L(x,z)\times\operatorname{Hom}_R(z,y) \to \operatorname{Hom}(x,y) $$ 为等价, 换言之任一态射都存在唯一的先 $L$ 后 $R$ 的分解.

$(2)$ 映射 $$ (-\circ -)\colon \mathsf{Ar}(L)^{\simeq} \times_{\mathcal C^{\simeq}}\mathsf{Ar}(R)^{\simeq} \to \mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\simeq} $$ 为等价, 和条件 1 基本上是同一个意思.

$(3)$ $L$ 的态射左正交于 $R$ 的态射, 并且任一态射都存在一个先 $L$ 后 $R$ 的分解 (不要求唯一).

$(4)$ 函子 $$ (-\circ -)\colon \mathsf{Ar}(L) \times_{\mathcal C}\mathsf{Ar}(R) \to \mathsf{Ar}(\mathcal C) $$ 为等价. 注意这表明正交分解是函子性的, 这个分解由上述函子的逆给出.

证明 (概要).

$(1) \Leftrightarrow (2)$. 考虑拉回图 $$ \begin{CD} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{z\in\mathcal C^{\simeq}}{\operatorname{colim}}\,\operatorname{Hom}_L(x,z)\times\operatorname{Hom}_R(z,y) @>>> \operatorname{Hom}(x,y) @>>> \{(x,y)\} \\ @VVV @VVV @VVV \\ \mathsf{Ar}(L)^{\simeq} \times_{\mathcal C^{\simeq}}\mathsf{Ar}(R)^{\simeq} @>>> \mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\simeq} @>>> \mathcal C^{\simeq}\times\mathcal C^{\simeq}. \end{CD} $$

$(1)\Rightarrow (3)$. 设 $f\in L,g\in R$, 我们证明 $f \perp g$. 考虑如下交换图, $$ \begin{CD} \bullet @>{u}>> \bullet \\ @V{f}VV @VV{g}V \\ \bullet @>>{v}> \bullet \end{CD} $$ 其中主对角线 $gu = vf$. 考虑主对角线以及 $u,v$ 三个态射的 $(L,R)$-分解, 得到 (唯一确定的) 如下分解,

其中 $\ell\in L$, $r\in L$. 这证明了 $f \perp g$. 上述论证可以写成更严格的形式, 使用了 $\mathsf{Ani}$ 中余极限保持拉回的性质, 此处略去.

$(3) \Rightarrow (4)$. 见 Kerodon 04QD.

$(4) \Rightarrow (2)$ 明显.

性质

收缩封闭

命题. 正交分解系中的两类态射 $L,R$ 各自都关于收缩封闭.

证明. 对于任一态射 $f$, 有 $f\in L$ 当且仅当 $f$ 在函子性的分解中的右边分量为同构. 而同构关于收缩封闭, 故 $L$ 关于收缩封闭. 对 $R$ 同理.

互为提升类

命题. 记 $L,R$ 为正交分解系的两类态射, 则 $L$ 和 $R$ 互为提升类: $$ L = {^\perp R},\quad R = L^\perp. $$

证明. 对任意 $f\in {^\perp R}$, 存在 $\ell\in L$ 与 $r\in R$ 使得 $f = r\ell$. 考虑下图, $$ \begin{CD} \bullet @>{\ell}>> \bullet \\ @V{f}VV \nearrow_i @VV{r}V \\ \bullet @= \bullet \end{CD} $$ 由 $f\in {^\perp R}$, $r\in R$ 知存在提升 $i$; 这说明 $f$ 是 $\ell$ 的收缩 (如下图). $$ \begin{CD} \bullet @= \bullet @= \bullet \\ @V{f}VV @V{\ell}VV @VV{f}V \\ \bullet @>>{i}> \bullet @>>{r}> \bullet \end{CD} $$ 最后, 由 $L$ 关于收缩封闭知 $f \in L$.

自反性

命题. 在正交分解 $$ \mathsf{Ar}(\mathcal C) \to \mathsf{Ar}(L)\times_{\mathcal C}\mathsf{Ar}(R) $$ 中,

$\mathsf{Ar}(\mathcal C) \to \mathsf{Ar}(L)$ 是含入 $\mathsf{Ar}(L)\to\mathsf{Ar}(\mathcal C)$ 的右伴随, 伴随的余单位正是左分量 $L(f)\to f$.
$\mathsf{Ar}(\mathcal C) \to \mathsf{Ar}(R)$ 是含入 $\mathsf{Ar}(R)\to\mathsf{Ar}(\mathcal C)$ 的左伴随, 伴随的单位正是右分量 $f \to R(f)$.

例. $n$-截断的生象构成 $\mathsf{Ani}$ 的自反子范畴 $\mathsf{Ani}_{\leq n} \hookrightarrow \mathsf{Ani}.$

局部性

命题. 对于意象 $\mathcal C$ 中的正交分解系 $(L,R)$, 两类态射有局部性. 这就是说, 对于态射 $f\colon X\to Y$, 若存在 $Y$ 的覆盖 $\{g_i \colon Y_i\to Y\}$ 使得每个 $g_i^* f$ 都属于 $R$, 那么 $f$ 属于 $R$.

证明. 由意象的性质, 覆盖 $\{g_i \colon Y_i\to Y\}$ 的基变换 $$ \mathcal C_{/Y} \to \prod_{i} \mathcal C_{/Y_i} $$ 为保守函子. 考虑态射 $f$ 的 $(L,R)$-分解 $f=rl$ ($l\in L, r\in R$). 假设每个 $g_i^*f$ 属于 $R$, 那么 $g_i^* l$ 为同构, 由保守性得 $l$ 为同构, 即 $f$ 属于 $R$. 对于 $L$ 同理. $\square$

与双范畴 (二重范畴) 的关系

记 $\mathsf{OFS}$ 为 “带正交分解系的范畴” 的范畴, $\mathsf{DCat}$ 为双范畴 (或者叫二重范畴) 的范畴. 考虑函子 $$ \operatorname{Fact}\colon \mathsf{OFS} \to \mathsf{DCat}, $$ 将每个正交分解系视为一个二重范畴. 直观上, 二重范畴就是有两类互相独立的态射的范畴; 对于分解系 $(L,R)$, 相应的二重范畴 $\operatorname{Fact}(L,R)$ 的两类态射分别就是 $L$ 的态射 (水平态射) 和 $R$ 的态射 (竖直态射).

定义 (分解条件, 参考 Juran). 对于二重范畴 $\mathcal C$, 视为双单纯生象 $\mathcal C \colon (\Delta\times\Delta)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, 称如下等价条件为分解条件:

$(1)$ 方块 $$ \begin{array}{ccc} \mathcal C \Big(\begin{array}{ccc} *_{00} & \rightarrow & *_{01} \\ \downarrow & & \downarrow \\ *_{10} & \rightarrow & *_{11} \end{array}\Big) & \rightarrow & \mathcal C \Big(\begin{array}{c} *_{00} \\ \downarrow \\ *_{10} \end{array}\Big) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal C(*_{10} \to *_{11}) & \rightarrow & \mathcal C(*_{11}) \end{array} $$ 为拉回. 其中 $\begin{array}{ccc} *_{00} & \rightarrow & *_{01} \\ \downarrow & & \downarrow \\ *_{10} & \rightarrow & *_{11} \end{array}$ 表示 $\Delta\times\Delta$ 的对象 $([1],[1])$, $\begin{array}{c} *_{00} \\ \downarrow \\ *_{10} \end{array}$ 表示 $([1],[0])$, 等等. 故直观上这个条件是说: 任给 “左下角” $\begin{array}{ccc} *_{00} & & \\ \downarrow & & \\ *_{10} & \rightarrow & *_{11} \end{array}$, 存在唯一的 “方块”. 这个过程就是将 “错误的分解顺序” 唯一地改变为 “正确的分解顺序” 的过程.

$(2)$ 函子 $$ \mathcal C(-,d_0)\colon \mathcal C(-,[1]) \to \mathcal C(-,[0]) $$ 为推前纤维化. 我们将 $\mathcal C(-,[0])$ 中的态射想象为 “底边” $X_{10} \to X_{11}$, 将 $X_{10}$ 上的 $\mathcal C(-,[1])$ 中的对象想象为 “左边” $\begin{array}{c}X_{00}\\ \downarrow \\ X_{10}\end{array}$, 那么推前纤维化的推前给出方块 $\begin{array}{ccc} X_{00} & \rightarrow & X_{01} \\ \downarrow & & \downarrow \\ X_{10} & \rightarrow & X_{11} \end{array}$.

$(3)$ 函子 $$ \mathcal C(d_1,-)\colon \mathcal C([1],-) \to \mathcal C([0],-) $$ 为拉回纤维化.

命题. $\operatorname{Fact}$ 为全忠实函子, 其本质像正是全体满足分解条件的二重范畴.

与模态的关系

设意象 $\mathcal C$ 上带有正交分解系 $(L,R)$. 若 $L$ 对基变换封闭 (换言之, 任意态射 $f$ 的基变换与取左类相容, $(g^*f)_L = g^* (f_L)$), 则有 $\mathcal C$ 上的一个模态 (或 Lawvere–Tierney 拓扑) ${(-)}_L\colon \mathcal C \to \mathcal C$, 对对象 $X$ 到终对象的映射 $X\to *$ 作分解得到 $$ X \to X_L\to *. $$

有时这也作为模态的定义.

例

平凡分解系

在任何范畴 $\mathcal C$ 中, $(\mathcal C^{\simeq},\mathcal C)$ 与 $(\mathcal C,\mathcal C^{\simeq})$ 均为正交分解系.

满单分解

在集合范畴 $\mathsf{Set}$ 或生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 中, (满射, 单射) 是一个正交分解系. 这是 $n$-连通-$n$-截断分解的特例 $(n=-1)$.

粘构形范畴 [粘构形范畴]

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粘构形范畴 (category of sticky configurations) 是 Ricardo Andrade 的博士论文 (以下简称 “原文”) 定义的一个范畴. 对于空间 $X$, 该文定义了一个范畴 $\mathbb M(X)$,

其对象为 $X$ 中的有限点集;
态射为 “粘同伦”, 即一种特殊的同伦, 其中两个点 “一旦碰到一起便不会再分开”, 仿佛这些点有 “粘性”.

定义

记

$\mathsf{Top}$ 为拓扑空间的范畴;
$\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$ 为 $\mathsf{Cat}^{\to}$ 的子范畴, 其对象为子范畴的含入 $\mathcal C_0 \hookrightarrow \mathcal C_1$;
$\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}_{\mathrm{cart}}$ 为 $\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$ 的子范畴, 其对象 $\mathcal C_0\hookleftarrow\mathcal C_1$ 满足 $\mathcal C_1$ 具有拉回, 且 $\mathcal C_0$ 中的态射关于拉回稳定, $\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}_{\mathrm{cart}}$ 的态射为保持拉回的函子, $2$-态射为 Descartes 自然变换 (即自然性条件的每个方块均为拉回方块).

定义 (粘同伦). 考虑 $(\mathcal C_0\hookrightarrow\mathcal C_1)\in\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$, 以及函子 $F \colon \mathcal C_1 \to \mathsf{Top}$. 对于 $\mathcal C_1$ 的对象 $x$, 称拓扑空间 $F(x)$ 上的道路 $\alpha$ 为粘同伦 (sticky homotopy) 是指如下条件成立: 对 $\mathcal C_0$ 中的任意态射 $y\to x$, 若道路 $\alpha$ 在某时刻落入 $F(y)\to F(x)$ 的像, 则它该时刻以后都落在这个像中.

注. 粘同伦的概念具有良好的函子性. 设 $\mathcal C = (\mathcal C_0\hookrightarrow\mathcal C_1)\in\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$, $F\colon \mathcal C_1 \to \mathsf{Top}$, 考虑拓扑空间 $F(x)$ 的道路范畴 $\operatorname{Path}F(x)$, 它是 $\mathsf{Top}$ 的内范畴 (粗略地说, 即其对象集和态射集均有拓扑结构), 则粘同伦给出其一个子范畴 $\operatorname{St}F(x) \to \operatorname{Path}F(x)$. 这一构造关于许多东西有函子性, 详见原文 III.3 节. 这里的叙述已经比原文简化了许多, 但仍旧显得过度抽象. 读者可安心地忽略以上内容, 从下一段开始阅读.

记

$\mathsf{Fin}$ 为有限集 (即有限离散拓扑空间) 的范畴.
$\mathsf{Fin}_{\mathrm{surj}}$ 为 $\mathsf{Fin}$ 中由满射构成的子范畴.

对任意拓扑空间 $X$, 我们的想法是用有限点集 “探测” 之, 得到函子 $\operatorname{Hom}(-,X) \colon \mathsf{Fin}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Top}$. 对于有限集 $S$ 到 $X$ 的映射 $f,g\colon S\to X$ 以及 $f$ 到 $g$ 的同伦 $\alpha$, 若以下条件成立则称之为粘同伦:

对任意满射 $S \to T$, 若同伦 $\alpha$ 在某时刻落入 $\operatorname{Hom}(T,X)\to \operatorname{Hom}(S,X)$ 的像, 则它此后都落在这个像中.

换言之, 若 $S$ 的两个点在某时刻碰到一起, 则它们此后都保持在一起.

对每个有限集 $S$ 均有 $\mathsf{Top}$ 的一个内范畴 $\operatorname{St}\operatorname{Hom}(S,X)$, 其对象为映射 $S\to X$, 态射为粘同伦. 对这一构造进行某种 Grothendieck 构造 (即对所有 $S$ 将这些范畴合在一起), 得到 $\mathsf{Top}$ 的一个内范畴 $\mathbb M^{\mathrm{big}}(X)$ (原文 III.4.4), 表示 “所有有限点集到 $X$ 的映射与粘同伦构成的范畴”, 再取其中的单射 $S\hookrightarrow X$ (所谓构形) 构成的子范畴, 得到 $\mathbb M(X)$.

例

$S^1$ 的粘构形范畴

$S^1$ 的粘构形范畴可给出 Hochschild 同调.

记 $\mathbb{Z}\mathsf{Poset}$ 为带 $\mathbb{Z}$-作用的偏序集的范畴. 对正整数 $n$ 考虑其中的对象 $x_n$, 底层偏序集为 $(\mathbb{Z},\leq)$, $\mathbb{Z}$-作用由映射 $(-)+n$ 给出. 定义范畴 $\mathcal E$ 为 $\varnothing$ 与 $x_n\,(n\in\mathbb{Z}_{+})$ 在 $\mathbb{Z}\mathsf{Poset}$ 中构成的全子范畴, 原文称之为 Elmendorf 范畴.