定义
命题-定义. 对于范畴 $\mathcal C$ 的宽子范畴 (包含所有对象的子范畴) $L,R$, 若以下等价条件成立, 则称 $(L,R)$ 为正交分解系 (orthogonal factorization system):
$(1)$ 对任意对象 $x,y\in\mathcal C$, 映射
$$
(-\circ -)\colon \operatorname{colim}_{z\in\mathcal C^{\simeq}}\operatorname{Hom}_L(x,z)\times\operatorname{Hom}_R(z,y) \to \operatorname{Hom}(x,y)
$$
为等价, 换言之任一态射都存在唯一的先 $L$ 后 $R$ 的分解.
$(2)$ 映射
$$
(-\circ -)\colon \mathsf{Ar}(L)^{\simeq} \times_{\mathcal C^{\simeq}}\mathsf{Ar}(R)^{\simeq} \to \mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\simeq}
$$
为等价, 和条件 1 基本上是同一个意思.
$(3)$ $L$ 的态射左正交于 $R$ 的态射, 并且任一态射都存在一个先 $L$ 后 $R$ 的分解 (不要求唯一).
$(4)$ 函子
$$
(-\circ -)\colon \mathsf{Ar}(L) \times_{\mathcal C}\mathsf{Ar}(R) \to \mathsf{Ar}(\mathcal C)
$$
为等价. 注意这表明正交分解是函子性的, 这个分解由上述函子的逆给出.
证明 (概要).
$(1) \Leftrightarrow (2)$. 考虑拉回图
$$
\begin{CD}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{z\in\mathcal C^{\simeq}}{\operatorname{colim}}\,\operatorname{Hom}_L(x,z)\times\operatorname{Hom}_R(z,y) @>>> \operatorname{Hom}(x,y) @>>> \{(x,y)\} \\
@VVV @VVV @VVV \\
\mathsf{Ar}(L)^{\simeq} \times_{\mathcal C^{\simeq}}\mathsf{Ar}(R)^{\simeq} @>>> \mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\simeq} @>>> \mathcal C^{\simeq}\times\mathcal C^{\simeq}.
\end{CD}
$$
$(1)\Rightarrow (3)$. 设 $f\in L,g\in R$, 我们证明 $f \perp g$.
考虑如下交换图,
$$
\begin{CD}
\bullet @>{u}>> \bullet \\
@V{f}VV @VV{g}V \\
\bullet @>>{v}> \bullet
\end{CD}
$$
其中主对角线 $gu = vf$. 考虑主对角线以及 $u,v$ 三个态射的 $(L,R)$-分解, 得到 (唯一确定的) 如下分解,
其中 $\ell\in L$, $r\in L$. 这证明了 $f \perp g$. 上述论证可以写成更严格的形式, 使用了 $\mathsf{Ani}$ 中余极限保持拉回的性质, 此处略去.
$(3) \Rightarrow (4)$. 见 Kerodon 04QD.
$(4) \Rightarrow (2)$ 明显.
性质
收缩封闭
命题. 正交分解系中的两类态射 $L,R$ 各自都关于收缩封闭.
证明. 对于任一态射 $f$, 有 $f\in L$ 当且仅当 $f$ 在函子性的分解中的右边分量为同构. 而同构关于收缩封闭, 故 $L$ 关于收缩封闭. 对 $R$ 同理.
互为提升类
命题. 记 $L,R$ 为正交分解系的两类态射, 则 $L$ 和 $R$ 互为提升类:
$$
L = {^\perp R},\quad R = L^\perp.
$$
证明. 对任意 $f\in {^\perp R}$, 存在 $\ell\in L$ 与 $r\in R$ 使得 $f = r\ell$. 考虑下图,
$$
\begin{CD}
\bullet @>{\ell}>> \bullet \\
@V{f}VV \nearrow_i @VV{r}V \\
\bullet @= \bullet
\end{CD}
$$
由 $f\in {^\perp R}$, $r\in R$ 知存在提升 $i$; 这说明 $f$ 是 $\ell$ 的收缩 (如下图).
$$
\begin{CD}
\bullet @= \bullet @= \bullet \\
@V{f}VV @V{\ell}VV @VV{f}V \\
\bullet @>>{i}> \bullet @>>{r}> \bullet
\end{CD}
$$
最后, 由 $L$ 关于收缩封闭知 $f \in L$.
自反性
命题. 在正交分解
$$
\mathsf{Ar}(\mathcal C) \to \mathsf{Ar}(L)\times_{\mathcal C}\mathsf{Ar}(R)
$$
中,
- $\mathsf{Ar}(\mathcal C) \to \mathsf{Ar}(L)$ 是含入 $\mathsf{Ar}(L)\to\mathsf{Ar}(\mathcal C)$ 的右伴随, 伴随的余单位正是左分量 $L(f)\to f$.
- $\mathsf{Ar}(\mathcal C) \to \mathsf{Ar}(R)$ 是含入 $\mathsf{Ar}(R)\to\mathsf{Ar}(\mathcal C)$ 的左伴随, 伴随的单位正是右分量 $f \to R(f)$.
例. $n$-截断的生象构成 $\mathsf{Ani}$ 的自反子范畴 $\mathsf{Ani}_{\leq n} \hookrightarrow \mathsf{Ani}.$
局部性
命题. 对于意象 $\mathcal C$ 中的正交分解系 $(L,R)$, 两类态射有局部性. 这就是说, 对于态射 $f\colon X\to Y$, 若存在 $Y$ 的覆盖 $\{g_i \colon Y_i\to Y\}$ 使得每个 $g_i^* f$ 都属于 $R$, 那么 $f$ 属于 $R$.
证明. 由意象的性质, 覆盖 $\{g_i \colon Y_i\to Y\}$ 的基变换
$$
\mathcal C_{/Y} \to \prod_{i} \mathcal C_{/Y_i}
$$
为保守函子. 考虑态射 $f$ 的 $(L,R)$-分解 $f=rl$ ($l\in L, r\in R$). 假设每个 $g_i^*f$ 属于 $R$, 那么 $g_i^* l$ 为同构, 由保守性得 $l$ 为同构, 即 $f$ 属于 $R$. 对于 $L$ 同理. $\square$
与双范畴 (二重范畴) 的关系
记 $\mathsf{OFS}$ 为 “带正交分解系的范畴” 的范畴, $\mathsf{DCat}$ 为双范畴 (或者叫二重范畴) 的范畴. 考虑函子
$$
\operatorname{Fact}\colon \mathsf{OFS} \to \mathsf{DCat},
$$
将每个正交分解系视为一个二重范畴. 直观上, 二重范畴就是有两类互相独立的态射的范畴; 对于分解系 $(L,R)$, 相应的二重范畴 $\operatorname{Fact}(L,R)$ 的两类态射分别就是 $L$ 的态射 (水平态射) 和 $R$ 的态射 (竖直态射).
定义 (分解条件, 参考 Juran). 对于二重范畴 $\mathcal C$, 视为双单纯生象 $\mathcal C \colon (\Delta\times\Delta)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, 称如下等价条件为分解条件:
$(1)$ 方块
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal C \Big(\begin{array}{ccc}
*_{00} & \rightarrow & *_{01} \\
\downarrow & & \downarrow \\
*_{10} & \rightarrow & *_{11}
\end{array}\Big) & \rightarrow & \mathcal C \Big(\begin{array}{c}
*_{00} \\
\downarrow \\
*_{10}
\end{array}\Big) \\
\downarrow & & \downarrow \\
\mathcal C(*_{10} \to *_{11}) & \rightarrow & \mathcal C(*_{11})
\end{array}
$$
为拉回. 其中 $\begin{array}{ccc} *_{00} & \rightarrow & *_{01} \\ \downarrow & & \downarrow \\ *_{10} & \rightarrow & *_{11} \end{array}$ 表示 $\Delta\times\Delta$ 的对象 $([1],[1])$,
$\begin{array}{c} *_{00} \\ \downarrow \\ *_{10} \end{array}$ 表示 $([1],[0])$, 等等. 故直观上这个条件是说: 任给 “左下角”
$\begin{array}{ccc} *_{00} & & \\ \downarrow & & \\ *_{10} & \rightarrow & *_{11} \end{array}$, 存在唯一的 “方块”.
这个过程就是将 “错误的分解顺序” 唯一地改变为 “正确的分解顺序” 的过程.
$(2)$ 函子
$$
\mathcal C(-,d_0)\colon \mathcal C(-,[1]) \to \mathcal C(-,[0])
$$
为推前纤维化. 我们将 $\mathcal C(-,[0])$ 中的态射想象为 “底边” $X_{10} \to X_{11}$, 将 $X_{10}$ 上的 $\mathcal C(-,[1])$ 中的对象想象为 “左边” $\begin{array}{c}X_{00}\\ \downarrow \\ X_{10}\end{array}$, 那么推前纤维化的推前给出方块 $\begin{array}{ccc} X_{00} & \rightarrow & X_{01} \\ \downarrow & & \downarrow \\ X_{10} & \rightarrow & X_{11} \end{array}$.
$(3)$ 函子
$$
\mathcal C(d_1,-)\colon \mathcal C([1],-) \to \mathcal C([0],-)
$$
为拉回纤维化.
命题. $\operatorname{Fact}$ 为全忠实函子, 其本质像正是全体满足分解条件的二重范畴.
与模态的关系
设意象 $\mathcal C$ 上带有正交分解系 $(L,R)$. 若 $L$ 对基变换封闭 (换言之, 任意态射 $f$ 的基变换与取左类相容, $(g^*f)_L = g^* (f_L)$), 则有 $\mathcal C$ 上的一个模态 (或 Lawvere–Tierney 拓扑) ${(-)}_L\colon \mathcal C \to \mathcal C$, 对对象 $X$ 到终对象的映射 $X\to *$ 作分解得到
$$
X \to X_L\to *.
$$
有时这也作为模态的定义.
例
平凡分解系
在任何范畴 $\mathcal C$ 中, $(\mathcal C^{\simeq},\mathcal C)$ 与 $(\mathcal C,\mathcal C^{\simeq})$ 均为正交分解系.
满单分解
在集合范畴 $\mathsf{Set}$ 或生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 中, (满射, 单射) 是一个正交分解系. 这是 $n$-连通-$n$-截断分解的特例 $(n=-1)$.