n 重范畴 [n-重范畴]

观念

$n$ 重范畴 ($n$-fold category) 是有 $n$ 类互相独立的态射的范畴. 可以归纳地定义 $n$ 重范畴为 $(n-1)$ 重范畴之中的范畴对象.

定义

归纳定义

归纳地定义 $n$ 重范畴:

• $0$ 重范畴就是生象.
• 对于 $n\geq 1$, $n$ 重范畴是 $(n-1)$ 重范畴的范畴中的范畴对象 (即完备 Segal 对象).

通过代数模式定义

$n$ 重范畴可用代数模式 $\Delta^n$ 的 Segal 对象附加完备性条件来定义. 具体地, $\Delta^n$ 的一个 Segal 对象是一个函子 $$ X\colon (\Delta^n)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}, $$ 即一个 $n$ 重单纯生象, 满足 Segal 条件 $$ X(\cdots,[k],\cdots)\simeq X(\cdots,[1],\cdots)^{\times_{X(\cdots,[0],\cdots)}k}. $$ 而 $n$ 重范畴则可定义为满足每个分量的完备性的 Segal 对象.

性质

与 $n$-范畴的联系

$n$-范畴可视为某些方向退化的 $n$ 重范畴.

例

外张量积

给定范畴 $\mathcal C_1,\cdots,\mathcal C_n$, 可构造 $n$ 重范畴 $\mathcal C_1 \boxtimes\cdots\boxtimes\mathcal C_n$, $$ ([k_1],\cdots,[k_n]) \mapsto \mathcal C_1 ([k_1])\times\cdots\times\mathcal C_n ([k_n]). $$

景的二重范畴

景构成一个二重范畴 (double category). 两类态射分别称为景的态射和余态射.

正交分解系与二重范畴

每个正交分解系都可视为一个二重范畴, 两类态射分别就是分解系中的两类态射.