树形对象 [树形对象]

百科
SimplicialCat

观念

树形对象是能用树来探测的结构.

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单纯对象 [单纯对象]

百科
SimplicialCat

观念

当范畴 $\mathcal C$ 的对象是某种空间 (几何对象) 时, 若要用单纯形 $\Delta^n$ 来 “探测” 一个与 $\mathcal C$ 的对象类似的空间 $X$, 使得 “映射空间” $\operatorname{Map}(\Delta^n, X)$ 是 $\mathcal C$ 的对象, 则会得到 $\mathcal C$ 中的单纯对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$.

定义

范畴 $\mathcal C$ 中的单纯对象是其内部的单纯集, 也即单纯形范畴的对偶到 $\mathcal C$ 的函子 $\Delta^{\text{op}}\to \mathcal C$.

类似地, 增广单纯对象是增广单纯形范畴的对偶到 $\mathcal C$ 的函子 $\Delta_+^{\text{op}}\to \mathcal C$.

多重范畴 [多重范畴]

百科
范畴论
SimplicialCat

观念

多重范畴可由类似于树的对象来探测.

定义

多重范畴这一概念有多种貌似不同但互相等价的定义.

通过 Barwick 范畴 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$

记 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 为如下范畴:

其对象为 $$ ([n]\in\Delta, f\colon [n] \to \mathsf{Fin}), $$ 即 $\mathsf{Fin}$ 中的非空有限序列 $X_0 \to X_1\to\cdots\to X_n$;
态射 $([n],f) \to ([m],g)$ 为 $$ (\phi\colon [n]\to [m],\eta\colon f\to g\phi), $$ 满足逐分量为单射, 且自然性方块均为拉回.

这个记号沿用了 Barwick 范畴 $\Delta_{\Phi}$ 的记号, 取 $\Phi = \mathsf{Fin}$ (它是算子范畴的范畴 $\mathsf{Op}$ 中的终对象), 参见 Barwick 算子范畴.

范畴 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 的对象 $X_0 \to X_1\to\cdots\to X_n$ 可理解为一族带有层级的树组成的 “森林”, $X_0$ 为叶的集合, $X_n$ 为根的集合, 中间每个 $X_i$ 为第 $i$ 层内边的集合, 映射 $X_i\to X_{i+1}$ 将每个边对应到与其相连的下一层的边.

这个结构不完全等同于树, 因为其中的 “边” 有固定的层级.

定义 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 上的 Segal 预层为满足如下条件的 $\mathsf{Ani}$-值预层 $F\colon \Delta_{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$:

$F(X_0\to\cdots\to X_n)\simeq F(X_0\to X_1)\times_{F(X_1)}\cdots\times_{F(X_{n-1})}F(X_{n-1}\to X_n)$;
$F(X\to Y) \simeq \prod_{y\in Y} F(X_y\to \{y\})$;
$F(X)\simeq\prod_{x\in X}F(\{x\})$.

这个条件是 Segal 生象的类比.

定义多重范畴为 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 上满足完备性的 Segal 预层 $F$; 完备性即是说 $F$ 在子范畴 $\Delta\hookrightarrow\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 上的限制是一个完备 Segal 生象.

树形生象

多重范畴的另一种定义使用树形生象.

树 (范畴论) [树]

百科
范畴论
SimplicialCat

观念

树是表达 “多个对象到一个对象的态射” 所需的基本结构. 因此, 可被树探测的对象 (即树形对象) 给出算畴 (多重范畴) 的一种定义.

这里所说的树特指有限, 有根 (rooted), 对称 (即一个节点上的边不计顺序) 的树.

定义

通过结点和边

树由结点 (vertex), 内边 (internal edge) 和外边 (external edge) 构成, 内边是两个结点之间的边, 外边是仅联系到一个结点的边; 每个结点有若干个 (可能是零个) 入边和一个出边. 整个树有一个唯一的根 (root), 即唯一指向外部的出边. 外部的入边称为叶 (leaf).

上图是一棵树的例子, 其中

$g$ 是根,
$e$ 是一个叶, 是外边, 是结点 $w$ 的入边,
$f$ 是内边, 是结点 $v$ 的出边, 也是结点 $w$ 的入边.

注意, 我们不要求树可以画在平面上. 同一结点的所有入边之间没有顺序.

作为偏序集

树的所有边的上下关系构成一个偏序. 具体地, 树可定义为满足如下条件的 (有限) 偏序集 $(P,\leq)$:

$P$ 有最小元 $\bot$ (即树的根);
对任意 $x\in P$, 不超过 $x$ 的元素的子集构成一个全序.

此时 $P$ 的极大元 (可能不唯一) 即是树的叶.

树的态射

树的态射是个比较复杂的概念.

一种方便的定义是, 树的态射由如下几种基本态射生成:

树的同构;
退化 (degeneracy) $S \twoheadrightarrow T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 在一条边中间插入一个新结点所得;
内部面映射 (inner face map) $S \hookrightarrow T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 缩合一条内边所得;
外部面映射 (outer face map) $S \to T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 剪除一个外顶点 (仅关联一条内边的顶点) 所得;

例

线性树

线性树是形如 $$ \begin{array} {c} \downarrow\\ \bullet\\ \downarrow\\ \bullet\\ \vdots\\ \bullet\\ \downarrow \end{array} $$ 的树. 这给出单纯形范畴到树的范畴的嵌入 $$ \Delta \hookrightarrow \Omega. $$