Wiki. 算畴左 Kan 扩张 [oLKE]

类似于左 Kan 扩张 是函子范畴之间拉回的左伴随, 对于余完备对称幺半范畴 $\mathcal C$ 以及算畴的态射 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$, 在代数范畴之间也有拉回 $f^*\colon \mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathcal C)\to\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 的左伴随 $$ f_! \colon \mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)\to\mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathcal C), $$ 称为算畴左 Kan 扩张 (operadic left Kan extension). 代数范畴之间的拉回可视为遗忘函子, 而算畴左 Kan 扩张给出自由代数.

性质

具体计算式

对于 $A\in\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$, $P\in\mathcal P$, $$ (f_!A)(P) = \operatorname{colim}_{\alpha\colon f(O)\to P\text{活性}} \pi(\alpha)_! A(O), $$ 其中 $O\in\mathcal O^\otimes$, $\pi\colon \mathcal P^\otimes\to\mathsf{Fin}_*$.

例

分解同调

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