Segal 函子 γ [Segal函子γ]

定义

直接定义

Segal 函子 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ 是单纯形范畴 $\Delta$ 到 Segal 范畴 $\Gamma$ 的一个函子,

• $\gamma([n]) = \underline{n} = \{*,1,\cdots,n\}$,
• 对于态射 $\varphi\colon [n] \to [m]$, $\gamma(\varphi)\colon \underline{n} \to \underline{m}$ 为态射 $$ i\mapsto (\varphi(i-1),\varphi(i)]. $$ 其中 $(a,b]$ 表示整数的左开右闭区间 $\{x\in \mathbb{Z}\mid a < x \leq b\}$.

通过 $S^1$

将单纯集 $\Delta^1$ 两端粘到一起, 定义 $$ S^1 := \operatorname{coeq}(\Delta^0 \rightrightarrows \Delta^1). $$ 其分量为 $$ (S^1)_m = \operatorname{Hom}_{\mathsf{sSet}}(\Delta^m,S^1) \simeq \underline{m}. $$ 可验证函子 $S^1\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Fin}_{*/}$ 在取反范畴后正是前面定义的函子 $$ \gamma := (S^1)^{\mathrm{op}} \colon \Delta \to (\mathsf{Fin}_{*/})^{\mathrm{op}} = \Gamma. $$