组合圆盘 [组合圆盘]

定义

直接定义

组合 $n$-圆盘的理论是一种凝聚理论:

• 类型 $X_0,\cdots,X_n$;
• 函数符号 $s_k,t_k\colon X_k\to X_{k+1}$, $i_{k+1}\colon X_{k+1}\to X_{k}$ ($0\leq k < n$);
• 等式 $i_{k+1} s_{k} = i_{k+1} t_{k} = \mathrm{id}_{X_{k}}$, $s_{k+1} s_k = t_{k+1} s_k$, $s_{k+1} t_k = t_{k+1} t_k$ ($0\leq k < n$);
• $X_0$ 有唯一的元素 $*$;
• $s_0(*) \neq t_0(*)$;
• 若 $s_k(x) = t_k(x)$, 则 $x = s_{k-1}(y)$ 或 $x=t_{k-1}(y)$ ($1\leq k < n$);
• 对任意 $x\in X_k$, $i_{k+1}^{-1}(x)$ 带有全序关系 $\leq$, 端点为 $s_k(x)$ 与 $t_k(x)$.

通过相对观点归纳定义

设 $\mathcal C$ 为意象, 可通过相对观点归纳定义 $\mathcal C$ 中的组合 $n$-圆盘: 它是一个序列 $$ X_0=*,X_1,\cdots,X_n, $$ 每个 $X_{k+1}$ 都是俯意象 $\mathcal C_{/X_k}$ 中的区间 (不要求为严格区间), 区间的两端分别为 $$ s_k,t_k\colon X_{k}\to X_{k+1}; $$ 要求这个区间退化的地方恰好等于 $X_k$ 的边界 $s_{k-1}(X_{k-1}) \cup t_{k-1}(X_{k-1})$. 这体现了圆盘的直观: $n+1$ 维圆盘是相对于 $n$ 维圆盘的区间, 且恰在 $n$ 维圆盘的边界上退化.