组合圆盘 [组合圆盘]

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定义

直接定义

组合 $n$-圆盘的理论是一种凝聚理论:

类型 $X_0,\cdots,X_n$;
函数符号 $s_k,t_k\colon X_k\to X_{k+1}$, $p_{k+1}\colon X_{k+1}\to X_{k}$ ($0\leq k < n$);
等式 $p_{k+1} s_{k} = p_{k+1} t_{k} = \mathrm{id}_{X_{k}}$, $s_{k+1} s_k = t_{k+1} s_k$, $s_{k+1} t_k = t_{k+1} t_k$ ($0\leq k < n$);
$X_0$ 有唯一的元素 $*$;
$s_0(*) \neq t_0(*)$;
若 $s_k(x) = t_k(x)$, 则 $x = s_{k-1}(y)$ 或 $x=t_{k-1}(y)$ ($1\leq k < n$);
对任意 $x\in X_k$, $p_{k+1}^{-1}(x)$ 带有全序关系 $\leq$, 端点为 $s_k(x)$ 与 $t_k(x)$.

通过相对观点归纳定义

设 $\mathcal C$ 为意象, 可通过相对观点归纳定义 $\mathcal C$ 中的组合 $n$-圆盘: 它是一个序列 $$ *=X_0\leftarrow X_1\leftarrow \cdots \leftarrow X_n, $$ 每个 $X_{k+1}$ 都是俯意象 $\mathcal C_{/X_k}$ 中的区间 (不要求为严格区间), 区间的两端分别为 $$ s_k,t_k\colon X_{k}\to X_{k+1}; $$ 要求这个区间退化的地方恰好等于 $X_k$ 的边界 $s_{k-1}(X_{k-1}) \cup t_{k-1}(X_{k-1})$. 这体现了圆盘的直观: $(n+1)$ 维圆盘是相对于 $n$ 维圆盘的区间, 且恰在 $n$ 维圆盘的边界上退化.

例

欧式球

欧氏空间中的圆盘 $D^n$ 是圆盘的朴素例子. 两个映射 $$ s_k,t_k\colon D^k\to D^{k+1}, \vec x\mapsto (\vec x,\pm\sqrt{1-|\vec x|^2}) $$ 分别给出 $D^{k+1}$ 的边界的两个半球. 投影映射 $$ p_{k+1}\colon D^{k+1}\to D^k $$ 即为前 $k$ 分量的投影.

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Joyal 范畴 Θn [Joyal范畴]

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观念

Joyal 范畴 $\Theta_n$ 的对象是探测 $(\infty,n)$-范畴的基本单元, 是单纯形在 $(\infty,n)$-范畴理论中的推广.

定义

归纳定义

记 $\Delta$ 为单纯形范畴, $\Gamma$ 为 Segal 范畴 $\Gamma$, 有典范的函子 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$; 详见 Segal 函子 $\gamma$.

定义. Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是 $n$ 个 $\Delta$ 的圈积, 带有典范函子 $|{-}|\colon \Theta_n \to \Gamma$.

该定义出自 Berger.

具体展开圈积 $\Theta_n = \Delta \wr \Theta_{n-1}$ 的定义, $\Theta_n$ 的归纳定义如下:

其对象形如 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$, 其中 $[k]\in\Delta$, $X_i\in\Theta_{n-1}$;
态射 $[k] (X_1,\cdots,X_k) \to [\ell] (Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 包括单纯形的态射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\Theta_{n-1}$ 中的态射 $X_i \to Y_j$ ($\phi(i-1) < j \leq \phi(i)$);
函子 $|{-}|\colon \Theta_n\to\Gamma$ 定义为 $|[k] (X_1,\cdots,X_k)| = \prod_{i=1}^k |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n+m \rangle$).

直观上, $\Theta_n$ 的对象 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$ 是一个充实于 $\widehat {\Theta_{n-1}}$, 以 $0,1,\cdots,k$ 为对象的范畴, 态射对象为 $\operatorname{Hom}(i-1,i)= X_i$.

如下是 $\Theta_3$ 的一个对象的示意:

这个对象写出来是

    [3] (
        [2] (
            [1] ([0]),
            [0]
        ),
        [0] (),
        [1] ([0])
    ).

$\Theta_n$ 的对象也可理解为类似树的结构, 不过与树不同的是, 每个 “结点” 被指定了一个层级 (一个自然数), 态射必须保持这个自然数.

嵌入

范畴 $\Theta_{n-1}$ 到 $\Theta_n$ 有不止一个合理的嵌入.

最符合直观的含入函子 $i_{n-1}\colon \Theta_{n-1} \to\Theta_n$ 是:

$i_0\colon \Theta_0 = \{[0]\} \hookrightarrow \Theta_1 = \Delta$;
$i_n ([k] (X_1,\cdots,X_k)) = [k] (i_{n-1}(X_1),\cdots,i_{n-1}(X_k))$.

直观上, $\Theta_{n-1}$ 的对象作为 $(n-1)$-范畴, 当然也可以视为 $n$-范畴, 只不过没有非平凡的 $n$-态射. 余极限 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 用的是这种嵌入.

另一个函子 $\sigma\colon \Theta_{n-1} \to \Theta_n$ (有时称为纬悬) 是 $$ \sigma (X) = [1] (X). $$ 直观上, 它有两个对象 $0,1$, 并且把 $X$ 的每个对象变为 $\sigma (X)$ 中的态射 $0\to 1$, 每个 $k$-态射提升为 $(k+1)$-态射.

作为球状集

范畴 $\Theta_n$ 的对象可视为球状集, 不过态射不仅有球状集映射. (事实上球状集映射恰为 $\Theta_n$ 上代数模式结构中的惰性映射.)

通过组合 $n$-圆盘

范畴 $\Theta_n$ 可通过 Joyal 的 “组合 $n$-圆盘” 直接定义.

性质

稠密性

我们知道

$n$-范畴等同于 $\mathsf{Cat}_{n-1}$-充实范畴: $\mathsf{Cat}_n \simeq \mathsf{Cat}_{n-1}\text{-}\mathsf{Cat}$;
圈积有这样的性质, 若 $\mathcal A\subset \mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr \mathcal A \subset \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 稠密;

于是归纳可以证明 $\Theta_n\subset\mathsf{Cat}_n$ 稠密.

代数模式

范畴 $\Theta_n$ 可用于定义 $n$-范畴以及 $\mathbb E_n$-代数的代数模式.