Segal 范畴 Γ [Segal范畴Γ]

观念

定义

直接定义

Segal 范畴 $\Gamma$ 是带基点有限集范畴的反范畴: $$ \Gamma := \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}. $$ 记其对象为 $\underline{n} = \{*,1,\cdots,n\}\,(n\geq 0)$.

由定义, 范畴 $\Gamma$ 的态射可描述如下: 态射 $\underline{n} \to \underline{m}$ 将每个 $1\leq i\leq n$ 对应到 $\{1,\cdots,m\}$ 的一个子集, 这些子集互不相交.

通过泛性质

称具有零对象和有限积的范畴为半加性范畴.

定义. Segal 范畴 $\Gamma$ 是一个对象生成的自由半加性范畴.

性质

Segal 范畴 $\Gamma$ 的零对象为 $[0]$, 积为 $$ \underline{n}\times \underline{m} = \underline{n+m}. $$ 特别地, $$ \underline{n} = \underline{1}^{\times n}. $$ 这说明 $\Gamma$ 是一个 Lawvere 理论. 事实上, 它正是带基点对象的 Lawvere 理论.

与单纯形范畴的关系

单纯形范畴 $\Delta$ 到 $\Gamma$ 有一函子, 将对象 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\underline{n}\in\Gamma$. 详见 Segal 函子 $\gamma$.