融贯子 [融贯子]

观念

一个 Grothendieck 融贯子 (coherator) 给出球状集上的一种代数结构, 使得其 ($\mathsf{Set}$-值) 模型可以给出生象的表现.

定义

回忆 Joyal 范畴 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 的对象可视为球状集, 它是若干不同维数胞腔 $D_n$ 的粘合 $$ S = D_{h_1} \sqcup_{D_{b_1}} D_{h_2} \cdots \sqcup_{D_{b_{m-1}}} D_{h_m},\ (\star) $$ 其中每个 $D_{b_i}$ 同时是 $D_{h_i}$ 和 $D_{h_{i+1}}$ 的某个较低维面, 并且只允许将一个 “出发” 面粘到一个 “到达” 面上. 如下是 $\Theta$ 的一个对象的示意.

basic globular shape

$$ S = (D_3 \sqcup_{D_1} D_2) \sqcup_{D_0} D_1 \sqcup_{D_0} D_2. $$

(如果读者认为上述定义不够直观或不够严格, 可采用 Joyal 的等价定义, 见 Joyal 范畴.)

记 $\Theta$ 中球状映射构成的宽子范畴为 $\Theta_0$ (换言之必须将每个胞腔映射到一个同维数的胞腔; 注意球状集没有 “退化” 部分); 在 $\Theta$ 上的代数模式结构中, 这个子范畴恰为惰性映射的范畴 $\Theta_{\mathrm{int}}$.

一个融贯子是向 $\Theta_0$ 中加入一些满足特定要求的活性映射所得的代数模式. 具体要求如下.

定义. 一个 Grothendieck 融贯子 (coherator) $\mathcal C$ 是以 $\Theta_0$ 为惰性部分, 各维数胞腔为基本对象的代数模式, 满足

  • 嵌入 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 保持形如 $(\star)$ 的余极限;
  • 嵌入 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 分解为一座塔 $\Theta_0 = \mathcal C_0 \to \mathcal C_1 \to\cdots$, $\mathcal C = \operatorname{colim}_r \mathcal C_r$, 且每个函子 $\mathcal C_r \to \mathcal C_{r+1}$ 都是这样的操作: 对特定的平行胞腔 $f,g\colon D_{h-1} \rightrightarrows S$ (即 “出发面”, “到达面” 都相等的两个胞腔) 自由地加入一个态射 $D_h \to S$, 称为填充, 使得其 “出发面”, “到达面” 分别为 $f,g$. 我们额外要求 $\dim S \leq h$.
  • (可缩性) 任何两个平行胞腔最终都存在填充.

融贯子 $\mathcal C$ 的模型就是指其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象 $X\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 也就是满足如下条件的预层: $$ X(S) = \operatorname{lim}_{D_n\rightarrowtail S} X(D_n). $$

为了帮助理解, 我们写出一个可能的融贯子的前几项, 同时写出相应的在一个模型 $X$ 上的运算.

  • 首先, $\mathcal C_0 = \Theta_0$ 是没有任何活性映射的部分, 不给出 $X$ 上的任何运算.
  • 对于 $D_0\rightrightarrows D_0$ 加入一个填充 $\mathrm{id}\colon D_1 \to D_0$, 这是一个活性映射, 作用是给出 $X$ 上的 “对象” 的 “恒等态射” $X(D_0) \to X(D_1)$.
  • 对于 $D_0 \rightrightarrows D_1 \sqcup_{D_0} D_1$ 加入一个填充 $\mathrm{comp}\colon D_1 \to D_1 \sqcup_{D_0} D_1$, 给出 “态射的复合” $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_1)$.
  • 对于 $D_0 \rightrightarrows D_1$ (两个点顺序与通常相反) 加入一个填充 $\mathrm{inv}\colon D_1\to D_1$, 给出 “态射的逆” $X(D_1) \to X(D_1)$; 接着考虑两个映射 $D_1\rightrightarrows D_1$, 一个是 $D_1\overset{\mathrm{id}}{\to} D_0\to D_1$, 另一个是 $D_1 \overset{\mathrm{comp}}{\longrightarrow} D_1 \sqcup_{D_0} D_1 \overset{(\mathrm{id},\mathrm{inv})}{\longrightarrow} D_1$, 加入一个填充 $D_2 \to D_1$, 给出逆的一个运算律 $X(D_1)\to X(D_2)$, $\alpha\mapsto (\alpha\circ\alpha^{-1} \to \mathrm{id})$.
  • 考虑交换图 $$ \begin{CD} D_1 @>>> D_1\sqcup_{D_0} D_1 \\ @VVV @VV{D_1\sqcup_{D_0} \mathrm{comp}}V \\ D_1\sqcup_{D_0} D_1 @>>{\mathrm{comp}\sqcup_{D_0} D_1}> D_1\sqcup_{D_0} D_1\sqcup_{D_0} D_1, \end{CD} $$ 我们有了两个映射 $D_1 \rightrightarrows D_1 \sqcup_{D_0}D_1 \sqcup_{D_0}D_1$, 分别给出两种复合 $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_1)$. 加入一个填充 $D_2 \to D_1 \sqcup_{D_0}D_1 \sqcup_{D_0}D_1$, 给出三个态射复合的 “结合子” $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_2)$.
  • …

注意这样给出的 “运算律” 永远不是等式, 而是更高阶的胞腔.

命题. 每个融贯子 $\mathcal C$ 都可视为代数模式, 其惰性映射的宽子范畴为 $\Theta_0$, 基本对象为各维数胞腔.

定义. 融贯子 $\mathcal C$ 的模型是其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象, 也即函子 $X\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 满足对任意 $S\in\mathcal C$, $$ X(S) = \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail S} X(E), $$ 其中 $E\rightarrowtail S$ 取遍 $S$ 的胞腔.

这个条件看起来就是层条件, 这使人思考范畴 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 是否为意象. 但需要注意的一点是, “所有从胞腔到形状 $S$ 的惰性映射” 可能不满足 Grothendieck 覆盖的条件 (如拉回稳定性), 故 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 不一定是意象.

性质

可表函子为模型

对于融贯子 $\mathcal C$, 可表函子 $\mathbf{y}(S)\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 总是构成 $\mathcal C$ 的模型. 这是因为所有胞腔 $E\rightarrowtail S$ 构成 $\mathcal C$ 中的余极限.