观念
从几何对象中提取单纯集
脉的构造常用于提取出几何对象的 “形状”, 产生一个单纯集, 而后人们往往关注这个单纯集表现的生象.
形式右伴随
脉函子还可以更抽象地理解为函子 $\Delta \to \mathcal C$ 的形式右伴随 $\mathcal C \to \widehat {\Delta}=\mathsf{Fun}(\Delta^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$.
脉与几何实现
脉的构造往往伴随着几何实现.
定义
给定单纯形范畴到另一个范畴 $\mathcal C$ 的函子
$$
\Delta_{\mathcal C}\colon \Delta\to \mathcal C,
$$
设想 $\Delta_{\mathcal C}([n])$ 为标准单纯形 $[n]\in\Delta$ 的几何实现. 那么 $\mathcal C$ 中一般的对象 $X$ 可用单纯形来探测: 定义 $X$ 的脉 (nerve) 为如下单纯集 $N(X)$,
$$
N(X)_n := \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\Delta_{\mathcal C}[n], X).
$$
当然, 上述构造没有用到范畴 $\Delta$ 的任何具体性质.
例
奇异单纯集
拓扑空间 $X$ 的奇异单纯集 $\operatorname{Sing}X$ 是对应于如下函子 $\Delta \to \mathsf{Top}$ 的脉:
$$
[n]\mapsto |\Delta^n| := \{(0\leq x_1\leq \cdots \leq x_n\leq 1): x_i\in\mathbb{R}\}.
$$
范畴的脉
范畴 $\mathsf C$ 的脉 $N(\mathsf C)$ 是一个拟范畴, 这个脉来自嵌入函子 $\Delta\to\mathsf{Cat}$, 将偏序集 $[n]$ 视为范畴.
截面层
拓扑空间 $X$ 上的丛的截面层
$$
\mathsf{Top}_{/X} \to \mathsf{Psh}(X)
$$
可视为一种脉函子, 它来自于 “将开集视为平展空间” 的嵌入函子
$$
\operatorname{Open}(X) \to\mathsf{Et}_{/X}\hookrightarrow\mathsf{Top}_{/X}.
$$
其对应的几何实现为平展空间
$$
\mathsf{Sh}(X)\to\mathsf{Et}_{/X}.
$$