幂等伴随 [幂等伴随]

定义

设伴随 $$ \mathcal C\ \begin{aligned} \overset{F}{\rightarrow}\\ \bot\\ \underset{G}{\leftarrow} \end{aligned}\ \mathcal D $$ 的单位为 $\eta\colon 1\to GF$, 余单位为 $\varepsilon\colon FG\to 1$. 若以下等价条件成立, 则称之为幂等伴随 (idempotent adjunction):

• $\varepsilon F\colon FGF \to F$ 为等价;
• $G\varepsilon\colon GFG\to G$ 为等价;
• $G\varepsilon F\colon GFGF \to GF$ 为等价, 即伴随给出的单子 $GF$ 为幂等单子;
• $F\eta\colon F\to FGF$ 为等价;
• $\eta G\colon G\to GFG$ 为等价;
• $F\eta G\colon FG \to FGFG$ 为等价, 即伴随给出的余单子 $FG$ 为幂等余单子;
• 伴随 $F\dashv G$ 有如下分解, 其中 $\mathcal E$ 为 $GF,FG$ 的不动点, $F_2$, $G_1$ 为全忠实函子:

$$ \mathcal C\ \begin{aligned} \overset{F_1}{\rightarrow}\\ \bot\\ \underset{G_1}{\hookleftarrow} \end{aligned}\ \mathcal E\ \begin{aligned} \overset{F_2}{\hookrightarrow}\\ \bot\\ \underset{G_2}{\leftarrow} \end{aligned}\ \mathcal D $$

例

拓扑空间与位象

清醒空间 (sober space) 的范畴是拓扑空间与位象之间的伴随的不动点.