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指数对象 [指数对象]

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定义

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Heyting 代数 [Heyting代数]

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观念

Heyting 代数是直觉主义命题演算的模型.

定义

Heyting 代数是一个偏序集, 存在所有有限的积和余积, 且构成积闭范畴. 换言之, Heyting 代数中有 $0$, $1$, 指数对象 $y^x$ (通常记作 $x\Rightarrow y$), 而指数对象由如下的伴随关系刻画: $$ z\leq (x\Rightarrow y) \quad \text{iff} \quad z\wedge x \leq y. $$

性质

由基本伴随关系, 可得 (实际上是伴随的单位和余单位态射) $$ x\leq \big( y\Rightarrow (x\wedge y) \big),\quad y\wedge (y\Rightarrow x) \leq x. $$ 而由 $1^x\simeq 1$, $x^1\simeq x$ 可得 $$ (x\Rightarrow 1) =1,\quad (1\Rightarrow x) =x. $$ 由于函子 $x\Rightarrow -$ 有右伴随, 它保持极限, 即 $$ (x\Rightarrow (y\wedge z)) = \big( (x\Rightarrow y) \wedge (x \Rightarrow z)\big). $$ 等式 $x^{y\times z}\simeq (x^y)^z$ 成为 $$ ((y\wedge z)\Rightarrow x) = (z\Rightarrow (y\Rightarrow x)). $$

例

对拓扑空间 $X$, 其上开集构成的偏序集为 Heyting 代数. 对于开集 $U, V$, $$ (U \Rightarrow V) = \bigcup_{W\cap U\subset V} W. $$ 每个 Boole 代数都是 Heyting 代数, 反之则不然.

位象

每个位象 $X$ 都给出一个 Heyting 代数 $\mathcal O(X)$. 由此容易给出不满足 Boole 性质的例子. 例如拓扑空间 $X$ 对应的 Heyting 代数中, 开集 $U$ 的否定 $U\Rightarrow \bot$ 实际上是 $X\setminus U$ 的内部, 除非 $U$ 既开又闭, 否则不会有 $\neg\neg U = U$.

参考资料

盲人摸象 1.3 节

位象 [位象]

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观念

位象是无点拓扑学的最基本概念. 一个位象是一个偏序集, 满足与拓扑空间中的开集构成的偏序集类似的性质. 但是位象不像拓扑空间那样是由点构成的: 事实上, 一个非平凡的位象可以没有任何点.

位象又称 $0$-意象. 这体现了它是一座概念塔的最底层: 位象之上还有 $1$-意象直至 $\infty$-意象.

定义

一个位象 (locale) $X$ 对应满足如下条件的偏序集 $\mathcal O(X)$:

$\mathcal O(X)$ 具有有限交 (也即有限极限) $a\land b$;
$\mathcal O(X)$ 具有任意并 (也即任意余极限) $\bigvee_i a_i$;
$\mathcal O(X)$ 的有限交关于任意并有分配律 $$ \Big(\bigvee_i a_i\Big) \land b = \bigvee_i (a_i \land b). $$

位象 $X$ 到 $Y$ 的态射 $f\colon X\to Y$ 对应于偏序集之间的一对伴随 $$ f^*\colon \mathcal O(Y) \rightleftarrows \mathcal O(X) \colon f_*, $$ 其中 $f^*$ 为左伴随 (从而 $f^*$ 须保持任意并), 且保持有限交. 相应地, $f_*$ 为右伴随, 从而须保持任意交.

位象的点

考虑单点对应的位象 $\mathrm{pt}$, 有 $\mathcal O(\mathrm{pt}) = \{\bot,\top\}$ ($\bot$ 是最小元, $\top$ 是最大元). 定义位象 $X$ 的点为态射 $$ x\colon \mathrm{pt} \to X. $$ 这等同于一个保持有限交和任意并的映射 $$ x^*\colon \mathcal O(X) \to \{\bot,\top\}, $$ 从而等同于 $\mathcal O(X)$ 的一个子集 $P := (x^*)^{-1}(\top)$, 满足

$\top\in P$;
若 $U,V\in P$, 则 $U\land V\in P$;
若 $U\in P$, $U\leq V$, 则 $V\in P$;
对任意一族元素 $U_i$, 若 $\bigvee_i U_i\in P$, 则存在某个 $i$ 使得 $U_i\in P$.

这样的子集 $P$ 称为完全素滤子 (completely prime filter).

性质

与拓扑空间的关系

每个拓扑空间 $X$ 都给出一个位象: $\mathcal O(X)$ 即是 $X$ 的全体开集构成的偏序集. 该构造给出一个函子 $$ \mathsf{Top} \to \mathsf{Loc}. $$ 当然, 这个函子不是全忠实的, 因为有的拓扑空间的开集很少, 不足以区分各个点. 这个函子在分离性较好的空间 (所谓清醒空间) 上是全忠实的.

指数对象与蕴涵运算

对于位象 $X$, 任取 $a\in \mathcal O(X)$, 由于 $\mathcal O(X)$ 到自身的映射 $a\land -$ 保持余极限, 由伴随函子定理其有右伴随, 记作 $a\Rightarrow -$, 即 $$ (a\land b)\leq c $$ 等价于 $$ b \leq (a\Rightarrow c). $$ 这一事实可理解为: 位象视为 $(0,1)$-范畴, 具有指数对象.

运算 $a\Rightarrow b$ 在逻辑上又可理解为命题之间的 “蕴涵” 运算. 上述结构使得一个位象构成一个 Heyting 代数, 即直觉主义命题演算的模型.

与意象的关系

位象是 $0$-意象, 每个位象 $X$ 都给出一个意象, 即 $\mathcal O(X)$ 上的层范畴 $\operatorname{Sh}(\mathcal O(X))$, 其中 $\mathcal O(X)$ 的覆盖结构是典范拓扑: $\{U_i\leq U\}$ 覆盖 $U$ 当且仅当 $\bigvee_i U_i = U$.

反过来, 每个意象 $\mathcal X$ 也给出一个位象 $X$, 偏序集 $\mathcal O(X) = \mathcal X_{\leq -1}$ 为 $\mathcal X$ 中的 $(-1)$-截断对象的偏序集. 上述构造使得位象的范畴 $\mathsf{Locale}$ 构成意象的范畴 $\mathsf{Topos}$ 的余自反子范畴. 意象的态射 $\mathcal X\to\mathrm{Topos}(\operatorname{Sh}(\mathcal O(Y)))$ 等同于位象的态射 $\mathrm{Locale}(\mathcal X_{\leq -1})\to Y$.

例

Zariski 谱

含幺交换环 $A$ 的谱 $\operatorname{Spec}A$ 作为位象, 可如下描述: $\mathcal O(\operatorname{Spec}A)$ 是 $A$ 的根理想构成的偏序集, 其中元素的交就是理想的交, 并则是理想的并的根理想. 这个位象还可描述为基本开集 $U_a\,(a\in A)$ 在如下关系下生成的位象:

$U_0 = \bot,U_1=\top$;
$U_{ab} = U_a \land U_b$;
$U_{a+b}\leq U_a\lor U_b$.

详见 Zariski 位象.

参考资料

盲人摸象第 2 章

意象 [意象]

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观念

作为集合范畴的推广

意象 (topos) 是一种具有类似集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质的范畴; 这些性质使得意象的内语言能够支持集合的许多操作, 如构造两个集合 $X,Y$ 的无交并 $X + Y$, 乘积 $X\times Y$, 映射的集合 $Y^X$ 等等.

不过需要注意的是, 意象的内语言所支持的逻辑是直觉主义逻辑, 而不一定是经典逻辑 (见 Boole 意象), 其中排中律和选择公理可能不成立. 例如拓扑空间上的层意象一般不是 Boole 意象, 原因来自于开集的补集不一定是开集.

没有人能将我们驱逐出 Contor 为我们创造的 (集合论的) 天堂. —— David Hilbert (1926)

而意象理论告诉我们, 在集合论的天堂之外还有无穷无尽的世界, 而集合的世界只是这片无穷无尽的森林中的第一棵树.

类似地, $(\infty,1)$-意象是类似于生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 的范畴, 其内语言提供了处理同伦型的直觉主义语言, 即同伦类型论.

我们甚至可以期待 $(\infty,2)$-意象提供了 “范畴的范畴” $\mathsf{Cat}$ 的推广, 以及相应的语言.

作为几何对象

意象虽然按定义是一个范畴, 但从 Grothendieck 开始, 人们都将其想象为一种几何对象. 那个范畴是这个假想的几何对象上的层范畴. 对于意象之间的态射 $$ f\colon \mathcal X\to\mathcal Y, $$ 其按定义是一对伴随 $f^* \dashv f_*$, 我们也应将其想象为假想的几何对象上层的拉回与推前.

L’objet de la Topologie est l’étude des topos (et non des seuls espaces topologiques).

拓扑学的目标是研究意象, 而不仅是拓扑空间.

—— Grothendieck, SGA 4

高阶意象虽然按定义是个高阶范畴, 但它同样可想象为几何对象; 那个范畴是这个假想的几何对象上的生象值 (甚至范畴值) 层的范畴.

关于译名 “意象”

关于译名“意象“

定义

Grothendieck 意象

SGA 4 最早引入了 “意象 (topos)” 这一概念, 后来为了区分另一个稍有不同的概念, 称之为 Grothendieck 意象.

定义. Grothendieck 意象是指某个景上的层的范畴.

这一定义体现了意象作为几何对象的观念. 通常几何对象上具有 “开集” 与 “覆盖” 的概念, 形成景的结构; 那么这个景上的层的范畴可以视为该几何对象在意象理论中的化身.

定义. Grothendieck 意象是某个预层范畴的正合局部化.

Giraud 公理

据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这一定义说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.

定义. 称范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:

$\mathcal C$ 为可表现范畴;
$\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
$\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
$\mathcal C$ 中的满射均为有效满射.

初等意象

逻辑学家从内语言的视角出发考虑了初等意象的概念. Grothendieck 意象都是初等意象, 但反之不然.

定义. 初等意象 (elementary topos) 是满足如下条件的范畴 $\mathcal C$:

$\mathcal C$ 中存在有限极限;
$\mathcal C$ 是积闭范畴;
$\mathcal C$ 中存在子对象分类子 $\Omega$.

初等意象的概念与 Grothendieck 意象最显著的区别在于去掉了可表现范畴的条件. 例如有限集的范畴 $\mathsf{Fin}$ 是初等意象, 而不是可表现范畴 (从而不可能是 Grothendieck 意象).

不过, 一般人们还是讨论可表现范畴与 Grothendieck 意象. 所以在后文 (以及单纯百科的其它页面) 中我们用 “意象” 来代指 Grothendieck 意象.

下降观点

参考 Cnossen.

意象的范畴论性质还可以更加简洁地概括为余极限上的俯意象的性质, 称为沿余极限的下降. 具体的定义如下.

定义. 意象是满足如下条件的可表现范畴 $\mathcal C$: 俯意象函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X} $$ 保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有 $$ \mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}. $$

注 1. 上述定义中俯范畴的极限有如下计算方式: 对于 $X_\bullet \colon I\to\mathcal{C}$, $$ \operatorname{lim}_i \mathcal{C}_{/X_i} \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}, $$ 其中 $\mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}$ 是函子与 “拉回变换” (自然性所需的方块均为拉回方块的自然变换) 构成的范畴.

注 2. 可以具体写下两个方向的函子; 在具有拉回和余极限的范畴中这两个函子构成一对伴随; 其中

左伴随部分为 $\operatorname{colim} \colon \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}\simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}\to \mathcal{C}_{/X}$, $$ (Y_\bullet\to X_\bullet)\mapsto (\operatorname{colim}_i Y_i \to \operatorname{colim}_i X_i). $$
右伴随部分 $\mathcal{C}_{/X} \to \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}$ 是沿着每个 $X_i\to X$ 基变换.

我们观察伴随的单位和余单位.

单位: 对拉回变换 $Y_\bullet \to X_\bullet$, 对每个 $j\in I$, 单位给出同构 $$ Y_j \to (\operatorname{colim}_i Y_i)\times_{\operatorname{colim}_i X_i} X_j. $$
余单位: 对 $Y\to X$, 记 $Y_i$ 为其沿 $X_i\to X$ 的拉回, 余单位给出同构 $$ \operatorname{colim}_i(Y_i) \simeq Y. $$ 换一种观点看待这个同构, 即沿 $Y\to X$ 的拉回保持余极限.

例.

$\mathcal C_{/0} \simeq *$;
$\mathcal C_{/(X+Y)} \simeq \mathcal C_{/X} \times \mathcal C_{/Y}$. 这个性质又叫可扩展性.
($\infty$-范畴语境下) $\mathcal{C}_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{[n]\in\Delta}\mathcal{C}_{/G^n}$. 见群作用.
($\infty$-范畴语境下) 对于生象 $A$, $\mathcal{C}_{/\operatorname{colim}_A *} \simeq \operatorname{lim}_A \mathcal{C} \simeq \mathsf{Fun}(A,\mathcal{C})$.

性质

指数对象与幂对象

意象中的两个对象 $X,Y$ 之间可构造指数对象 $Y^X$ 与赋值映射 $\operatorname{ev}\colon Y^X\times X \to Y$, 满足伴随 $$ \operatorname{Hom}(Z,Y^X) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y). $$

对象 $X$ 的幂对象 $PX = \Omega^X$ 是幂集的类比, 满足 $\operatorname{Sub}(X\times Y)\simeq \operatorname{Hom}(Y,PX)$, 换言之, $PX$ 是 $\operatorname{Sub}(X\times -)$ 的表示对象.

分类意象

大致上, 意象上的每种 “结构” 都有一个分类意象 $\mathcal K$, 即意象 $\mathcal X$ 上的这种结构等同于态射 $\mathcal X \to \mathcal K$.

例

层意象

层意象 $\operatorname{Sh}(X)$, “由 $X$ 连续参数化的一族集合”;

预层意象

预层意象 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$, “由小范畴 $C$ 参数化的集合”.

预层意象又有如下重要例子:

箭图的范畴;
单纯集的范畴;
$\mathsf {Set}^{\mathbb N}$, “随时间变化的集合”;
…

位象

位象, 又称 $0$-意象.

初等意象

有限集范畴 $\mathsf{Fin}$
$\mathsf {FinOrd}$, 有限基数的范畴, 其中指数是通常的指数;