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大意象 [大意象]

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见小意象.

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合聚意象 [合聚意象]

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动机

一类空间 $H$ 中的所谓合聚 (cohesion) 的概念是描述空间 $X\in H$ 的点如何聚集在一起的方法, 如同液体聚成小滴.

William Lawvere 指出了如下公理.

对 $H$ 中的每个空间 $X$ 指定了合聚连通分支 (cohesively connected components) 的集合 (或生象) $\Pi(X)$;
每个集合 $S$ 都可以两种方式视为合聚空间 (cohesive space):
- 将 $S$ 每个点分别视为一个液滴, 称为离散合聚空间 (discrete cohesive space);
- 将 $S$ 的所有点共同视为一个液滴, 称为余离散合聚空间 (codiscrete cohesive space).
离散与余离散的合聚空间与其他合聚空间满足一些符合直觉的关系. 例如, 两个离散合聚空间之间的映射就是底层集合的映射.

合聚空间总是局部可缩 (局部 $\infty$-连通) 的.

有一个典范的几何态射, 即全局截面 $\Gamma\colon \mathcal E\to\mathsf {Set}$, 将空间 $X$ 对应到其点集 $\Gamma(X)$, 即 $X$ “遗忘所有合聚”. 离散和余离散分别是 $\Gamma$ 的左右伴随: $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}(\operatorname{Disc}(X),Y)&=\operatorname{Hom}(X,\Gamma(Y));\\ \operatorname{Hom}(\Gamma(X),Y)&=\operatorname{Hom}(X,\operatorname{coDisc}(Y)). \end{aligned} $$

$\Pi\colon \mathcal E\to\mathsf {Set}$ 将空间 $X$ 对应到其连通分支的集合, 是 $\operatorname{Disc}$ 的左伴随: $$ \operatorname{Hom}(\Pi(X),Y)=\operatorname{Hom}(X,\operatorname{Disc}(Y)). $$

定义

设 $\mathcal E$ 是基意象 $\mathcal S$ 上的意象, 即具有几何态射 $(f^*\dashv f_*)\colon \mathcal E \to\mathcal S$. 若如下条件成立, 则称其为合聚意象:

它是局部连通意象, 即 $f^*$ 存在左伴随 $f_! \dashv f^*$;
进一步, 它是连通意象, 即 $f_!$ 保持终对象, 或 $f^*$ 全忠实, 或 $f_! f^*\to \mathrm{id}_{\mathcal S}$ 为等价;
进一步, 它强连通, 即 $f_!$ 保持所有有限积;
并且它是局部意象, 即 $f_*$ 存在额外的右伴随 $f_*\dashv f^!$;

总结起来, 我们有伴随四元组 $$ (f_!\dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!)\colon \mathcal E \begin{array} {ccc} & \overset{f_!}{\longrightarrow} &\\ & \overset{f^*}{\longleftarrow} &\\ & \overset{f_*}{\longrightarrow} &\\ & \overset{f^!}{\longleftarrow} &\\ \end{array} \mathcal S. $$

这些函子各自又有 “几何” 味道的名称:

$f_! =:\Pi$ 是 “基本 $\infty$-群胚” (或 $1$-意象语境中的 “连通分支集”) 函子;
$f^* =:\operatorname{Disc}$ 是 “离散几何对象” (这里的离散是相对于合聚而言的);
$f_* =: \Gamma$ 是 “底层点集”;
$f^! =: \operatorname{coDisc}$ 是 “余离散几何对象”, 直观上是合聚的一个极端, 所有点都聚在一起.

$$ (\Pi \dashv \operatorname{Disc} \dashv \Gamma \dashv \operatorname{coDisc})\colon \mathcal E \begin{array} {ccc} & \overset{\Pi}{\longrightarrow} &\\ & \overset{\operatorname{Disc}}{\longleftarrow} &\\ & \overset{\Gamma}{\longrightarrow} &\\ & \overset{\operatorname{coDisc}}{\longleftarrow} &\\ \end{array} \mathcal S. $$

相应地, 范畴论性质也有 “几何” 味道的解释:

$\Gamma\operatorname{Disc}\to\mathrm{id}_{\mathcal S}$ 是等价, 意味着对任意 $X\in\mathcal S$, 意象 $\mathcal E$ 上局部常值 $X$-值函数必为常值, 也即 $\mathcal E$ 连通;
$\Pi(1) = *$, 意味着终对象的形状是一个点;

上述种种范畴论性质表明, 意象 $\mathcal E$ 本身作为小意象是没有广延的一个 “胖点”, 从而它理应作为一个大意象来看待, 在心理上我们可将其想象为以胖点为局部模型的几何对象的范畴.

三个模态

凝集意象 $\mathcal E$ 上有伴随四元组给出的三个模态:

形 (shape) 模态 $ʃ = \operatorname{Disc} \circ \operatorname{\Pi}$;
平 (flat) 模态 $\flat = \operatorname{Disc}\circ\operatorname{\Gamma}$;
尖 (sharp) 模态 $\sharp = \operatorname{coDisc}\circ\operatorname{\Gamma}$.

由伴随的纯范畴论性质, 它们构成伴随三元组 $$ (ʃ \dashv \flat \dashv \sharp)\colon \mathcal E \begin{array} {ccc} & \overset{ʃ}{\longrightarrow} &\\ & \overset{\flat}{\longleftarrow} &\\ & \overset{\sharp}{\longrightarrow} & \end{array} \mathcal E. $$

联络与曲率

固定一个合聚意象 $\mathcal E$.

定义. 对象 $X$ 的取值于对象 $A$ 的平坦联络的空间为 $$ \operatorname{Flat}(X,A):=\operatorname{Hom}(ʃ X,A) = \operatorname{Hom}(X,\flat A). $$

例

性质

切意象

合聚意象 $\mathcal X \to \mathcal S$ 的切意象 $T\mathcal X$ 是 $T\mathcal S$ 上的合聚意象.

小意象 [小意象]

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观念

所谓小意象 (petit topos) 是看待意象的一种观念: 一个意象本身是一个假想的几何对象. 意象的底层范畴是这个假想的几何对象上的 $\mathsf{Set}$ 或 $\mathsf{Ani}$ 值的层范畴.

另一种观念是大意象. 小意象和大意象不是严格的数学概念, 而是一种直观.

意象 [意象]

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观念

作为集合范畴的推广

意象 (topos) 是一种具有类似集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质的范畴; 这些性质使得意象的内语言能够支持集合的许多操作, 如构造两个集合 $X,Y$ 的无交并 $X + Y$, 乘积 $X\times Y$, 映射的集合 $Y^X$ 等等.

用这种观念看待的意象称为大意象.

不过需要注意的是, 意象的内语言所支持的逻辑是直觉主义逻辑, 而不一定是经典逻辑 (见 Boole 意象), 其中排中律和选择公理可能不成立. 例如拓扑空间上的层意象一般不是 Boole 意象, 原因来自于开集的补集不一定是开集.

没有人能将我们驱逐出 Contor 为我们创造的 (集合论的) 天堂. —— David Hilbert (1926)

而意象理论告诉我们, 在集合论的天堂之外还有无穷无尽的世界, 而集合的世界只是这片无穷无尽的森林中的第一棵树.

类似地, $(\infty,1)$-意象是类似于生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 的范畴, 其内语言提供了处理同伦型的直觉主义语言, 即同伦类型论.

我们甚至可以期待 $(\infty,2)$-意象提供了 “范畴的范畴” $\mathsf{Cat}$ 的推广, 以及相应的语言.

作为几何对象

意象虽然按定义是一个范畴, 但从 Grothendieck 开始, 人们都将其想象为一种几何对象. 那个范畴是这个假想的几何对象上的层范畴. 对于意象之间的态射 $$ f\colon \mathcal X\to\mathcal Y, $$ 其按定义是一对伴随 $f^* \dashv f_*$, 我们也应将其想象为假想的几何对象上层的拉回与推前.

用这种观念看待的意象称为小意象.

L’objet de la Topologie est l’étude des topos (et non des seuls espaces topologiques).

拓扑学的目标是研究意象, 而不仅是拓扑空间.

—— Grothendieck, SGA 4

高阶意象虽然按定义是个高阶范畴, 但它同样可想象为几何对象; 那个范畴是这个假想的几何对象上的生象值 (甚至范畴值) 层的范畴.

关于译名 “意象”

关于译名“意象“

定义

Grothendieck 意象

SGA 4 最早引入了 “意象 (topos)” 这一概念, 后来为了区分另一个稍有不同的概念, 称之为 Grothendieck 意象.

定义. Grothendieck 意象是指某个景上的层的范畴.

这一定义体现了意象作为几何对象的观念. 通常几何对象上具有 “开集” 与 “覆盖” 的概念, 形成景的结构; 那么这个景上的层的范畴可以视为该几何对象在意象理论中的化身.

定义. Grothendieck 意象是某个预层范畴的正合局部化.

Giraud 公理

据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这一定义说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.

定义. 称范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:

$\mathcal C$ 为可表现范畴;
$\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
$\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
$\mathcal C$ 中的满射均为有效满射.

初等意象

逻辑学家从内语言的视角出发考虑了初等意象的概念. Grothendieck 意象都是初等意象, 但反之不然.

定义. 初等意象 (elementary topos) 是满足如下条件的范畴 $\mathcal C$:

$\mathcal C$ 中存在有限极限;
$\mathcal C$ 是积闭范畴;
$\mathcal C$ 中存在子对象分类子 $\Omega$.

初等意象的概念与 Grothendieck 意象最显著的区别在于去掉了可表现范畴的条件. 例如有限集的范畴 $\mathsf{Fin}$ 是初等意象, 而不是可表现范畴 (从而不可能是 Grothendieck 意象).

不过, 一般人们还是讨论可表现范畴与 Grothendieck 意象. 所以在后文 (以及单纯百科的其它页面) 中我们用 “意象” 来代指 Grothendieck 意象.

下降观点

参考 Cnossen.

意象的范畴论性质还可以更加简洁地概括为余极限上的俯意象的性质, 称为沿余极限的下降. 具体的定义如下.

定义. 意象是满足如下条件的可表现范畴 $\mathcal C$: 俯意象函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X} $$ 保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有 $$ \mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}. $$

注 1. 上述定义中俯范畴的极限有如下计算方式: 对于 $X_\bullet \colon I\to\mathcal{C}$, $$ \operatorname{lim}_i \mathcal{C}_{/X_i} \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}, $$ 其中 $\mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}$ 是函子与 “拉回变换” (自然性所需的方块均为拉回方块的自然变换) 构成的范畴.

注 2. 可以具体写下两个方向的函子; 在具有拉回和余极限的范畴中这两个函子构成一对伴随; 其中

左伴随部分为 $\operatorname{colim} \colon \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}\simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}\to \mathcal{C}_{/X}$, $$ (Y_\bullet\to X_\bullet)\mapsto (\operatorname{colim}_i Y_i \to \operatorname{colim}_i X_i). $$
右伴随部分 $\mathcal{C}_{/X} \to \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}$ 是沿着每个 $X_i\to X$ 基变换.

我们观察伴随的单位和余单位.

单位: 对拉回变换 $Y_\bullet \to X_\bullet$, 对每个 $j\in I$, 单位给出同构 $$ Y_j \to (\operatorname{colim}_i Y_i)\times_{\operatorname{colim}_i X_i} X_j. $$
余单位: 对 $Y\to X$, 记 $Y_i$ 为其沿 $X_i\to X$ 的拉回, 余单位给出同构 $$ \operatorname{colim}_i(Y_i) \simeq Y. $$ 换一种观点看待这个同构, 即沿 $Y\to X$ 的拉回保持余极限.

例.

$\mathcal C_{/0} \simeq *$;
$\mathcal C_{/(X+Y)} \simeq \mathcal C_{/X} \times \mathcal C_{/Y}$. 这个性质又叫可扩展性.
($\infty$-范畴语境下) $\mathcal{C}_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{[n]\in\Delta}\mathcal{C}_{/G^n}$. 见群作用.
($\infty$-范畴语境下) 对于生象 $A$, $\mathcal{C}_{/\operatorname{colim}_A *} \simeq \operatorname{lim}_A \mathcal{C} \simeq \mathsf{Fun}(A,\mathcal{C})$.

性质

指数对象与幂对象

意象中的两个对象 $X,Y$ 之间可构造指数对象 $Y^X$ 与赋值映射 $\operatorname{ev}\colon Y^X\times X \to Y$, 满足伴随 $$ \operatorname{Hom}(Z,Y^X) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y). $$

对象 $X$ 的幂对象 $PX = \Omega^X$ 是幂集的类比, 满足 $\operatorname{Sub}(X\times Y)\simeq \operatorname{Hom}(Y,PX)$, 换言之, $PX$ 是 $\operatorname{Sub}(X\times -)$ 的表示对象.

分类意象

大致上, 意象上的每种 “结构” 都有一个分类意象 $\mathcal K$, 即意象 $\mathcal X$ 上的这种结构等同于态射 $\mathcal X \to \mathcal K$.

例

层意象

层意象 $\operatorname{Sh}(X)$, “由 $X$ 连续参数化的一族集合”;

预层意象

预层意象 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$, “由小范畴 $C$ 参数化的集合”.

预层意象又有如下重要例子:

箭图的范畴;
单纯集的范畴;
$\mathsf {Set}^{\mathbb N}$, “随时间变化的集合”;
…

位象

位象, 又称 $0$-意象.

初等意象

有限集范畴 $\mathsf{Fin}$
$\mathsf {FinOrd}$, 有限基数的范畴, 其中指数是通常的指数;