动机
一类空间 $H$ 中的所谓合聚 (cohesion) 的概念是描述空间 $X\in H$ 的点如何聚集在一起的方法, 如同液体聚成小滴.
William Lawvere 指出了如下公理.
- 对 $H$ 中的每个空间 $X$ 指定了合聚连通分支 (cohesively connected components) 的集合 (或生象) $\Pi(X)$;
- 每个集合 $S$ 都可以两种方式视为合聚空间 (cohesive space):
- 将 $S$ 每个点分别视为一个液滴, 称为离散合聚空间 (discrete cohesive space);
- 将 $S$ 的所有点共同视为一个液滴, 称为余离散合聚空间 (codiscrete cohesive space).
- 离散与余离散的合聚空间与其他合聚空间满足一些符合直觉的关系. 例如, 两个离散合聚空间之间的映射就是底层集合的映射.
合聚空间总是局部可缩 (局部 $\infty$-连通) 的.
有一个典范的几何态射, 即全局截面 $\Gamma\colon \mathcal E\to\mathsf {Set}$, 将空间 $X$ 对应到其点集 $\Gamma(X)$, 即 $X$ “遗忘所有合聚”. 离散和余离散分别是 $\Gamma$ 的左右伴随:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}(\operatorname{Disc}(X),Y)&=\operatorname{Hom}(X,\Gamma(Y));\\
\operatorname{Hom}(\Gamma(X),Y)&=\operatorname{Hom}(X,\operatorname{coDisc}(Y)).
\end{aligned}
$$
$\Pi\colon \mathcal E\to\mathsf {Set}$ 将空间 $X$ 对应到其连通分支的集合, 是 $\operatorname{Disc}$ 的左伴随:
$$
\operatorname{Hom}(\Pi(X),Y)=\operatorname{Hom}(X,\operatorname{Disc}(Y)).
$$
定义
设 $\mathcal E$ 是基意象 $\mathcal S$ 上的意象, 即具有几何态射 $(f^*\dashv f_*)\colon \mathcal E \to\mathcal S$. 若如下条件成立, 则称其为合聚意象:
- 它是局部连通意象, 即 $f^*$ 存在左伴随 $f_! \dashv f^*$;
- 进一步, 它是连通意象, 即 $f_!$ 保持终对象, 或 $f^*$ 全忠实, 或 $f_! f^*\to \mathrm{id}_{\mathcal S}$ 为等价;
- 进一步, 它强连通, 即 $f_!$ 保持所有有限积;
- 并且它是局部意象, 即 $f_*$ 存在额外的右伴随 $f_*\dashv f^!$;
总结起来, 我们有伴随四元组
$$
(f_!\dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!)\colon \mathcal E
\begin{array}
{ccc}
& \overset{f_!}{\longrightarrow} &\\
& \overset{f^*}{\longleftarrow} &\\
& \overset{f_*}{\longrightarrow} &\\
& \overset{f^!}{\longleftarrow} &\\
\end{array}
\mathcal S.
$$
这些函子各自又有 “几何” 味道的名称:
- $f_! =:\Pi$ 是 “基本 $\infty$-群胚” (或 $1$-意象语境中的 “连通分支集”) 函子;
- $f^* =:\operatorname{Disc}$ 是 “离散几何对象” (这里的离散是相对于合聚而言的);
- $f_* =: \Gamma$ 是 “底层点集”;
- $f^! =: \operatorname{coDisc}$ 是 “余离散几何对象”, 直观上是合聚的一个极端, 所有点都聚在一起.
$$
(\Pi \dashv \operatorname{Disc} \dashv \Gamma \dashv \operatorname{coDisc})\colon \mathcal E
\begin{array}
{ccc}
& \overset{\Pi}{\longrightarrow} &\\
& \overset{\operatorname{Disc}}{\longleftarrow} &\\
& \overset{\Gamma}{\longrightarrow} &\\
& \overset{\operatorname{coDisc}}{\longleftarrow} &\\
\end{array}
\mathcal S.
$$
相应地, 范畴论性质也有 “几何” 味道的解释:
- $\Gamma\operatorname{Disc}\to\mathrm{id}_{\mathcal S}$ 是等价, 意味着对任意 $X\in\mathcal S$, 意象 $\mathcal E$ 上局部常值 $X$-值函数必为常值, 也即 $\mathcal E$ 连通;
- $\Pi(1) = *$, 意味着终对象的形状是一个点;
上述种种范畴论性质表明, 意象 $\mathcal E$ 本身作为小意象是没有广延的一个 “胖点”, 从而它理应作为一个大意象来看待, 在心理上我们可将其想象为以胖点为局部模型的几何对象的范畴.
三个模态
凝集意象 $\mathcal E$ 上有伴随四元组给出的三个模态:
- 形 (shape) 模态 $ʃ = \operatorname{Disc} \circ \operatorname{\Pi}$;
- 平 (flat) 模态 $\flat = \operatorname{Disc}\circ\operatorname{\Gamma}$;
- 尖 (sharp) 模态 $\sharp = \operatorname{coDisc}\circ\operatorname{\Gamma}$.
由伴随的纯范畴论性质, 它们构成伴随三元组
$$
(ʃ \dashv \flat \dashv \sharp)\colon \mathcal E
\begin{array}
{ccc}
& \overset{ʃ}{\longrightarrow} &\\
& \overset{\flat}{\longleftarrow} &\\
& \overset{\sharp}{\longrightarrow} &
\end{array}
\mathcal E.
$$
联络与曲率
固定一个合聚意象 $\mathcal E$.
定义. 对象 $X$ 的取值于对象 $A$ 的平坦联络的空间为
$$
\operatorname{Flat}(X,A):=\operatorname{Hom}(ʃ X,A) = \operatorname{Hom}(X,\flat A).
$$
例
性质
切意象
合聚意象 $\mathcal X \to \mathcal S$ 的切意象 $T\mathcal X$ 是 $T\mathcal S$ 上的合聚意象.