本文是 Lukas Heidemann 博士论文的阅读笔记.
引言
本文建立高阶范畴中的一种基于流形的图形演算 (graphical calculus), 它是线图的推广.
在流形图中, 维数最大的区域 (开区域) 代表范畴中的对象, 区域之间的余 $1$ 维界面代表 $1$-态射, …, 余 $k$ 维界面代表 $k$-态射.
流形图的拼接给出高阶态射的复合, 而形状本身就带有融贯性.
分层流形
拓扑空间的分层就是其到一个偏序集的映射, 其中偏序集带有 Alexandroff 拓扑.
分层空间 $X$ 上的标架是其到 $\mathbb{R}^n$ 的一个嵌入 $X\hookrightarrow\mathbb{R}^n$. 这里我们关心的其实是这个嵌入到后 $m$ 分量的投影定义的等价关系. 记 $\sim_m$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上由 “后 $m$ 个分量相同” 定义的等价关系. 我们要求带标架分层空间之间的映射保持这些关系, 即若 $x\sim_m y$, 则 $f(x)\sim_m f(y)$.
例如下面三幅图中, 左边的竖线和中间的曲线是等同的, 而两者和右边的折返曲线是不同的.
下面三幅图中, 底层两个 $0$ 维的点可以左右移动, 左边和中间是等同的, 而两者和右边是不同的.
网格与桁架
网格
定义 (分层纤维丛).
满足如下条件的分层空间映射 $p\colon E\to B$ 称为分层纤维丛:
- 对任意点 $b\in B$, 设 $T_b\subset B$ 为其所在的层, 则存在 $b$ 在 $T_b$ 中的开邻域 $U$ (注意不一定是 $B$ 中的开邻域), 使得 $p\colon E|_U \to U$ 同构于一个形如 $U\times F\to U$ 的分层空间映射.
定义 (网格). 对自然数 $n$ 归纳定义 $n$ 维的闭网格:
- $0$ 维闭网格是一个点;
- $1$ 维闭网格是带有分层的闭区间, 其每一层都是单点或开区间;
- $n+1$ 维闭网格是一个分层纤维丛 $E\to B$, 其中每个纤维都是闭区间, 且纤维的分层结构的每一层都是单点或开区间.
将上述定义中 “闭区间” 改为 “开区间”, 就得到开网格:
- $1$ 维开网格是带有分层的开区间, 其每一层都是单点或开区间;
- $n+1$ 维开网格是一个分层纤维丛 $E\to B$, 其中每个纤维都是开区间, 且纤维的分层结构的每一层都是单点或开区间.
注意上述定义可以容易地推广到开/闭 $n$-网格丛的定义. 而使用分层单形上的这种丛, 我们就可以定义开 $n$-网格的范畴 $\mathcal M^n$.
特别地, $1$ 维标准分层单形上的开 $n$-网格丛就是 $\mathcal M^n$ 中的态射, 也叫做配边 (bordism). (当然这和通常流形的配边不太一样, 只是借用了名字.)
命题. 闭网格的范畴是开网格的范畴的反范畴: $\overline{\mathcal M}^n \simeq (\mathcal M^n)^{\mathrm{op}}$.
例如, 下图中的 “田” 字形闭网格 $\text{田}\in\overline{\mathcal M}^2$ 对应于 “井” 字形开网格 $\text{井}\in\mathcal M^2$.
桁架
桁架是网格的纯组合版本, 是网格的出路范畴的隐喻; 桁架的范畴和网格的范畴等价.
定义 (桁架).
- $1$ 维闭桁架的范畴为 $\Delta^{\mathrm{op}}$.
- $1$ 维开桁架的范畴为 $\mathcal{T}^1 := \Delta$.
- $n+1$ 维开桁架 $T$ 是一个 zig-zag
$$
T_{r_0}\leftarrow T_{s_0} \to T_{r_1}\leftarrow\cdots\to T_{r_n},
$$
其中每个 $T_{r_i},T_{s_i}$ 都是 $n$ 维开桁架, 态射是偏序集映射 $\alpha\colon [n]\to [m]$ 以及一些态射
- $T_{r_i} \to S_{r_{\alpha(i)}}$,
- $T_{s_i} \to S_{s_j}$ ($\alpha(i)\leq j <\alpha (i+1)$),
- $T_{s_i} \to S_{r_j}$ ($\alpha(i)\leq j \leq\alpha (i+1)$).
我们通过一个多项式函子归纳定义高维的开桁架:
由于开 $1$-桁架的范畴为 $\Delta$, 同时一个开 $1$-桁架自身也可视为一个偏序集, 我们可以考虑 “万有开 $1$-桁架丛”, 即一个纤维范畴
$$
p\colon \mathcal {T}^1_*\to \Delta,
$$
(实际上是一个 Conduché 纤维化, 即 $\mathsf{Cat}$ 中可作指数的态射)
- 其落在 $[n]$ 上的纤维 $p^{-1}([n])$ 恰为 $[n]$ 对应的开 $1$-桁架
$$
r_0[n] \leftarrow s_0[n] \to r_1[n]\leftarrow s_1[n]\to\cdots \to r_n[n],
$$
(注意它正是开 $1$-网格的出路范畴)
- 其落在 $\alpha\colon [n]\to [m]$ 上的态射为 $r_i [n] \to r_{\alpha(i)} [m]$, $s_i[n] \to s_j [m]$ ($\alpha(i)\leq j <\alpha (i+1)$), $s_i[n]\to r_j [m]$ ($\alpha(i)\leq j \leq\alpha (i+1)$).
考虑 $\mathsf{Cat}$ 中的多项式
$$
{*} \leftarrow \mathcal{T}^1_{*} \to \Delta \to *,
$$
其给出多项式函子
$$
\operatorname{T}^1\colon \mathcal C\mapsto \int_{[n]\in\Delta} \mathcal C^{p^{-1}([n])}.
$$
直观上, $\operatorname{T}^1 (\mathcal C)$ 的对象为 “带 $\mathcal C$ 标签的 $1$-桁架”.
原子与胞腔, 奇异型
定义.
- 称偏序集有最小元的开 $n$-网格为原子.
- 称偏序集有最大元的闭 $n$-网格为胞腔.
定义 (奇异型) 对于原子或胞腔 $X$, 由定义其为一串分层纤维丛
$$
X = X_n \overset{f_{n}}{\to} X_{n-1} \to \cdots \overset{f_1}{\to} X_0 = *.
$$
定义 $X$ 的奇异型 (singularity type) $\operatorname{stype}(X)$ 为 0-1 序列 $[k_1,\cdots,k_n]\in\Delta^n$, $k_i$ 当 $X_i\to X_{i-1}$ 为平凡分层纤维丛时取 $0$, 否则取 $1$.
构造. 设 $M\to P$ 为开 $n$-网格, 对 $p\in P$, 记包含 $p$ 的最小的开子网格为 $\operatorname{atom}_M(p)\subset M$; 它是一个原子. 所有这样的子网格 $\operatorname{atom}_M (p)\to M$ 构成 $n$-网格范畴中的余极限余锥.
开网格的代数模式
本节描述开 $n$-网格或开 $n$-桁架如何构成一个代数模式 $\mathcal T^n$, 基本对象为原子, 惰性映射为嵌入.
活性映射
定义. 对于开 $n$-网格的配边, 即 $\mathcal M^n$ 中的态射 $X\to Y$, 对应于开 $n$-网格丛 $E\to \|\Delta [1]\|$, 若对任意 $p\in P_Y$, 存在 $q\in P_X$ 使得在 $P_E$ 中 $p\leq q$, 则称之为活性映射或活性配边.
其实直观上就是盖满了.
田字格
由开 $n$-网格与桁架的直观很明显有嵌入
$$
\boxplus\colon \Delta^n \hookrightarrow \mathcal M^n\simeq\mathcal T^n.
$$
函子 $\boxplus\colon \Delta^n \to \mathcal T^n$ 诱导伴随
$$
(\boxplus^*\dashv \boxplus_*)\colon \widehat {\mathcal T^n} \rightleftarrows \widehat {\Delta^n},
$$
其中右伴随 $\boxplus_*$ 为全忠实函子.
例. 设 $\mathcal C$ 为 $(\infty ,2)$-范畴, 视为 $2$ 重 Segal 生象. 设 $A$ 为如下原子.
我们计算 $\boxplus_*\mathcal C (A)$. 由预层之间伴随的公式,
$$
(\boxplus_* \mathcal C)(A) = \operatorname{lim}_{[i,j]\to A}\mathcal C ([i,j]).
$$
给出其一个元素相当于对每个 $[i,j]\to A$ 给出相容的元素 $[i,j]\to\mathcal C$.
因此, $\boxplus_*\mathcal C (A)$ 的元素相当于 $\mathcal C$ 中的一个 $2$-态射 $fg\to h$.
命题. 伴随 $\boxplus^*\dashv \boxplus_*$ 限制到 Segal 对象之间的伴随
$$
(\boxplus^*\dashv \boxplus_*)\colon \mathsf{Seg}(\mathcal T^n) \rightleftarrows \mathsf{Seg}(\Delta^n).
$$
证明. todo
正则 Segal 对象
定义 (正则性). 设 $F$ 是 $\mathcal M^n\simeq \mathcal T^n$ 上的预层. 若对每个原子 $A$, 如下方块为拉回, 则称 $F$ 正则:
$$
\begin{array}{ccc}
F(A) & \rightarrow & F(\square A) \\
\downarrow & & \downarrow \\
F(\partial A) & \rightarrow & F(\partial \square A),
\end{array}
$$
其中
$$
F(\partial A) := \operatorname{lim}_{B\subsetneq A} F(B),
$$
$$
\square A := \boxplus (\operatorname{stype}(A)).
$$
直观上, $F(A)$ 的元素应当是一些低阶态射的复合 (对应 $F(\partial A)$ 的元素) 配上它们之间的一个 $n$-态射 (对应 $F(\square A)$ 的元素).
流形图
前面说明了开 $n$-网格可用于探测 $(\infty,n)$-范畴. 不过, 要想得到线图那样好用的图形演算, 我们还需要更灵活 (有更多自同构) 的探测对象, 比如允许更自由的同痕.
现在我们来定义本文的核心对象: $n$-流形图.
线图的一个重要性质是每一条线都有方向, 毕竟范畴中的态射有方向. 准确地说, 线图中的线在一个指定的方向上的投影必须是递增的. (有时具有伴随的态射可以允许一些线折返, 不过那是额外的条件了.) $n$-流形图也需要规定某种方向性, 其准确表述是如下的前进性 (progressivity).
定义. 一个原子是前进的是指:
- 其奇异深度 $\operatorname{sdepth}(A)$ 等于 $\ell(A)(\bot_A)$;
- 每个真子原子都是前进的.
定义. 标架基元 (framed basic) 是标架分层空间 $U$ 带有标签 $\ell(U)\colon \operatorname{Exit}(U) \to [n]$, 使得存在前进原子 $A$ 与细化映射 $A\to U$.
我们还需要排除一些投影之后产生歧义的图形.
定义. 称紧标架分层空间 $M$ 稳定是指: 对任意形变 $\widetilde M \to [0,1]$ (标架分层纤维丛, 满足 $M$ 为 $0$ 处的纤维, 且遗忘标架后为平凡分层纤维丛), 存在 $\varepsilon \in (0,1]$ 使得其在 $\left[0,\varepsilon\right)$ 上为平凡标架分层纤维丛. 称一般的标架分层空间稳定是指其紧子空间均稳定.
例. 如下标架基元 $U$ 由 $A$ 细化:
例. 如下是表达三个 $1$-态射复合的结合律的标架基元.
定义. $n$-流形图是满足某种驯顺条件的分层空间 $M$, 存在由稳定标架基元构成的覆盖.
同痕
线图最强大的地方就在于同痕不变性. 只要人们使用线图, 人们就会自动依赖这一性质. 例如辫幺半范畴 ($\mathbb E_2$-范畴) 的线图是 $\mathbb{R}^3$ 中的图, 辫操作可描述为几何上的操作, 其融贯性来自同痕; 这就是辫这个名字的由来.
所以 $n$-流形图最重要的性质也是同痕不变性. 在讨论同痕不变性之前我们需要定义同痕. 理想的情况是流形图构成一个生象 (实际上我们用 Kan 复形定义), 而同痕是这个生象中的等式 (道路).
要定义这个 Kan 复形只需要定义单形上的流形图丛.
定义. 一个 $n$-流形图丛是一个驯顺的 $n$-标架分层纤维丛 $p\colon E\to B$, 带 $[n]$ 中的标签, 其中 $B$ 带有平凡分层结构, 且每个纤维都是 $n$-流形图. 特别地, 作为普通拓扑空间的区间 $|\Delta [1]|$ 上的 $n$-流形图丛称为 $n$-流形图的同痕.
定义. 设 一个 $n$-流形图丛是一个驯顺的 $n$-标架分层纤维丛 $p\colon E\to B$, 带 $[n]$ 中的标签, 其中 $B$ 带有平凡分层结构, 且每个纤维都是 $n$-流形图. 特别地, 作为普通拓扑空间的区间 $|\Delta [1]|$ 上的 $n$-流形图丛称为 $n$-流形图的同痕.
定义 ($n$-流形图的生象). 对 $\mathbb{R}^n$ 中的闭 $n$-网格 $X$ 可以定义 $X$ 上的 $n$-流形图的生象 $\mathbb D^n (X)$: 它具有一个 Kan 复形的表现, 其 $k$-单形是逐纤维正交于 $X$ 的 $n$-流形图丛 $E\to |\Delta [k]|$ (的等价类). (我们在此不解释何为正交性, 这只是一些微分拓扑的条件, 直观画出的任何图都满足这一条件.)
进一步, 该构造关于 $X$ 有函子性:
$$
\mathbb D^n\colon \overline{\mathcal M}^n\simeq(\mathcal M^n)^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}.
$$
定理. $\mathbb D^n$ 是正则 Segal 对象.
这是一个奇妙的定理, 在我看来有些 “自指” 的性质; 这个定理的结论表明 $\mathbb D^n$ 可视为类似 $(\infty,n)$-范畴的东西, 而这个 “范畴” 包含了所有可能的范畴中的图表形状. 我们看一个例子.
例. 考虑如下的闭 $2$-网格 $X$.
由定义, $\mathbb D^2 (X)$ 是如下形状的流形图构成的 Kan 复形:
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直观上, $X$ 上的流形图需要与 $X$ 交互良好:
- 穿过 $X$ 的水平墙壁必须横截 (原文中的正交性);
- 不能穿过 $X$ 中的竖直墙壁 (当然也不能穿过 $X$ 的节点).
Segal 条件在 $X$ 上说的是 $X$ 上的流形图可由其三个胞腔上在交界处相容的流形图决定.
例. 下图展示了 $\mathbb D^2(I^2)$ 中的一个环路:
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断言. $\mathbb D^n$ 是每个标架基元的一个生成元自由生成的 Segal $\mathcal M^n$-对象.
例如 $\mathbb D^1$ 正是范畴 $\mathbf{B}\mathbb N$ 对应的 Segal $\mathcal M^1$-对象 (即 Segal 生象).
带标签的流形图
为了表达具体范畴中的图, 我们需要给流形图贴上标签.
$$
\mathcal M_{\mathrm{d}}^n \to \mathcal M^n [n]
$$
$$
\Sigma\colon (\mathcal M_{\mathrm{d}}^n)^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Ani}
$$