构形空间 [构形空间]

观念

构形空间在数学和物理上一般指的是某个系统的所有状态构成的空间. 在拓扑学中, 构形空间特指一个空间中的所有 (有序或无序的) 有限点集构成的空间.

定义

设 $X$ 为拓扑空间, $n$ 为正整数. 定义有序构形空间 $\operatorname{Conf}_n(X)$ 为 $X$ 中 $n$ 个互不相同的有序点的所有构形构成的空间: $$ \operatorname{Conf}_n(X) := \{ (x_1, \ldots, x_n) \in X^n \mid x_i \neq x_j \text{ for } i \neq j \}. $$

无序构形空间是有序构形空间在对称群 $S_n$ 作用下的商空间: $$ \operatorname{UConf}_n(X) := \operatorname{Conf}_n(X) / S_n. $$

性质

$\mathbb R^2$ 上 $n$ 个点的无序构形空间 $\operatorname{UConf}_n(\mathbb R^2)$ 的基本群是 $n$ 个生成元的辫群.