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基本群 [基本群]

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观念

生象的基本群是其环路空间的 $0$-截断.

关联页面

代数拓扑的现代语言 [AT]

笔记
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按照 Hatcher 的目录用现代语言讲述的代数拓扑. 注意:

这不是针对初学者的教程, 仅供熟悉生象语言的读者查阅.
生象语言在本书中并非全能. 有些内容 “本质” 属于拓扑空间范畴, 而不能直接用生象语言解释.

第 0 章. 基本概念

同伦与同伦型

所谓同伦就是生象中的等式. 一个拓扑空间的同伦型就是其表现的生象.

胞腔复形

胞腔复形又叫 CW 复形, 是带有一个滤过 $$ X_0 \to X_1 \to X_2\to \cdots $$ 的生象, 其逐项余纤维为球面束 (球面的一点并).

生象的操作

积
商, 也就是余纤维
纬悬 (suspension)
联合 (join)
压缩积

第 1 章. 基本群

带基点生象 $(X,x_0)$ 的基本群 $\pi_1(X,x_0)$ 是环路空间 $\Omega(X,x_0)$ 的 $0$-截断.

1.1 基本构造

对于等式 $h\colon x_0 = x_1$, 有换基点同态 $$ \pi_1 (X,x_0) \overset{\simeq}{\to}\pi_1(X,x_1),\,[f]\mapsto [h \cdot f \cdot \bar h]. $$

圆圈的基本群

$S^1$ 的基本群是无限循环群 $\mathbb{Z}$.

这里原书讲了基本群的应用, Brouwer 不动点定理和 Borsuk–Ulam 定理. 这两个定理不能直接用生象语言解释.

诱导同态

带基点生象的映射 $\varphi\colon (X,x_0)\to (Y,y_0)$ 诱导基本群的同态 $\pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0)$. 这说的是基本群的函子性.

这里原书证明了 $\pi_1(S^n) = 0$ ($n\geq 2$). 这个命题对生象成立, 但这个证明不能用生象语言解释.

1.2 Van Kampen 定理

Van Kampen 定理

1.3 覆叠空间

1.A 图与自由群

第 2 章. 同调

单纯同调与奇异同调

拓扑空间 $X$ 的奇异同调是其奇异单纯集 $\operatorname{Sing}X$ 的单纯同调.

单纯集的单纯同调是如下复合: $$ \mathsf{sSet} \overset{\mathbb{Z}[-]}{\longrightarrow} \mathsf{sAb} \overset{\mathrm{DK}}{\longrightarrow} \mathsf{Ch}_{\geq 0}(\mathbb{Z}) \overset{H_n}{\longrightarrow}\mathsf{Ab}, $$ 它表现了如下函子: $$ \mathsf{Ani} \overset{\mathbb{Z}[-]}{\longrightarrow}\mathsf{Mod}(H\mathbb{Z})_{\geq 0} \overset{H_n}{\longrightarrow} \mathsf{Ab}. $$

正合列与切除

Whitehead 塔 [Whitehead塔]

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定义

带基点生象 $*\to X$ 的 Whitehead 塔是对映射 $*\to X$ 作 ($n$-连通, $n$-截断) 分解所得的序列 $$ *\to \cdots \to Z_2 \to Z_1 \to Z_0 \to Z_{-1} \to Z_{-2} =X, $$ 满足

$*\to Z_n$ 是 $n$-连通映射, 也即 $Z_n$ 是 $(n+1)$-连通生象;
$Z_n\to X$ 是 $n$-截断映射.

性质

纤维

记号如上. 映射 $Z_n\to Z_{n-1}$ 的纤维为 Eilenberg–MacLane 空间 $K(\pi_{n+1}(X),n)$.

一种显式构造

$Z_n$ 的一种显式构造为 $\mathbf{B}^{n+2}\Omega^{n+2}X$.

与截断的关系

$Z_n$ 是如下的拉回. $$ \begin{array} {ccc} Z_n & \to & *\\ \downarrow && \downarrow\\ X & \to & \tau_{\leq n+1} X. \end{array} $$ 换言之, $Z_n$ 是 $X$ 的万有 $(n+1)$-连通覆叠. 对任意 $(n+1)$-连通带基点生象 $Y$, 保基点映射 $Y\to X$ 唯一地穿过 $Z_n$, $$ \operatorname{Hom}_*(Y,X) \simeq \operatorname{Hom}_*(Y,Z_n). $$

例

$n=-1$:

$Z_{-1}\to X$ 是基点处的连通分支. 任何带基点连通生象到 $X$ 的保基点映射唯一地穿过 $Z_{-1}$.
$Z_{-1}X = \mathbf{B}\Omega X$.
$Z_{-1}$ 同构于纤维 $\operatorname{fib}(X\to \pi_{0}X)$.

$n=0$:

$Z_0 \to X$ 是万有覆叠. 任何带基点单连通生象到 $X$ 的映射唯一地穿过 $Z_0$.
$Z_0 X = \mathbf{B}^2\Omega^2 X$.
$Z_{0}$ 同构于纤维 $\operatorname{fib}(X \to \tau_{\leq 1}X)=\operatorname{fib}(X\to\mathbf{B}\pi_1(X))$.
纤维 $\operatorname{fib}(Z_0\to Z_{-1})$ 是基点处的基本群 $\pi_1(X,x_0)$.

正交群

正交群 $\mathrm{O}_n$ 的 Whitehead 塔为 $$ \cdots\to \text{String}_n \to \mathrm{Spin}_n \to \mathrm{SO}_n \to \mathrm{O}_n. $$

相关概念

同伦群 [同伦群]

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本页面介绍生象的同伦群, 又称非稳定同伦群. 另见同伦群 (稳定同伦论).

观念

同伦群是用球面到一个空间 (生象) $X$ 的映射提取出的 $X$ 的同伦信息.

注. 虽然叫做同伦 “群”, 但 $-2,-1,0$ 阶同伦信息不构成群.

定义

设 $X$ 为生象或更一般的 $\infty$-意象 $\mathcal{C}$ 的对象, $x\colon *\to X$ 为 $X$ 的点, $n\geq 0$ 为整数. 定义 $X$ 在 $x$ 处的 $n$ 阶同伦群为 $n$ 阶环路空间的 $0$-截断: $$ \pi_n(X,x) := \tau_{\leq 0} \Omega^n(X,x). $$ 其中 $\Omega^n(X,x)$ 也是 $(S^n,*)$ 到 $(X,x)$ 的保基点映射空间, 从而是 $\mathbb{E}_n$-群; 那么其截断 $\pi_n(X,x)$ 也是 $\mathbb{E}_n$-群. 但由于其截断生活在一个 $1$-意象中, 故当 $n\geq 2$ 时它已经是 $\mathbb{E}_{\infty}$-群 (Abel 群). 当 $n=0$ 时它不是群, 只是带基点对象.

还有一种 “整体” 的同伦群, 可理解为同时记录了 $X$ 在每一点处的同伦群: 对 $n\geq 0$, 定义 $X$ 的 $n$ 阶同伦对象 $\pi_n(X)\in \mathcal{C}_{/X}$ 如下: $$ \pi_n(X) := \tau_{\leq 0} (X^{S^n}\to X)\in\mathcal{C}_{/X}. $$ $\pi_n(X)$ 是 $\mathcal{C}_{/X}$ 中的 $0$-截断 $\mathbb{E}_n$-群. 当然, $\pi_n(X)$ 在点 $x\colon *\to X$ 处的基变换即是 $\pi_n(X,x)$.

例

$(-2)$ 阶同伦信息是平凡的.
$(-1)$ 阶同伦信息是空或非空.
$0$ 阶同伦信息是连通分支的集合.
$1$ 阶同伦信息是基本群.

性质

拉回稳定性

命题. 设函子 $F\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 保持余极限和有限极限, 那么 $F$ 保持同伦群, 即对任意 $X\in\mathcal D$, 有 $\mathcal C_{/F(X)}$ 中的自然等价 $$ \pi_n(F(X)) \simeq F(\pi_n(X)). $$

特别地, 对于意象之间的几何态射 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 以及 $X\in\mathcal D$, 有 $\mathcal C_{/f^*X}$ 中的自然等价 $$ \pi_n (f^*X) \simeq f^*(\pi_n(X)). $$

长正合列

命题. 对意象 $\mathcal C$ 中的任意映射 $f\colon X\to Y$, 有 $(\mathcal C_{/X})_{\leq 0}$ 中的长正合列 $$ \begin{aligned} \cdots&\to \pi_n(f) \to \pi_n(X) \to f^*\pi_n(Y) \\ &\to\pi_{n-1}(f) \to \cdots. \end{aligned} $$

其中 $\pi_n(f)$ 是 $f\in \mathcal C_{/Y}$ 的同伦群 (相对同伦群), 是 $(\mathcal C_{/Y})_{/f} = \mathcal C_{/X}$ 的对象.

相关概念

相对同伦群

平展基本群 [平展基本群]

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观念

概形的平展基本群是其平展意象的形的基本群.

定义

作为纤维函子的自同构群

类似于 Tannaka 重构,

参考 Milne 平展上同调讲义. 对于概形 $X$, 记 $\mathsf{FEt}_{/X}$ 为指向 $X$ 的有限平展映射的范畴. 对于几何点 $\bar x \to X$, 定义纤维函子 $F \colon \mathsf{FEt}_{/X}\to\mathsf{Set}$, $$ F(Y\to X) := \operatorname{Hom}_X(\bar x,Y). $$ 函子 $F$ 是 pro-可表的. 记 $\widetilde {X}$ 为 $F$ 的表示 pro-对象, 定义 $$ \pi_1(X,\bar x) := \operatorname{Aut}_{\mathsf{ProFEt}_{/X}}(\widetilde {X}) = \operatorname{lim}\operatorname{Aut}_{\mathsf{FEt}_{/X}}(X_i) $$ 后一个等式来自 pro-对象的态射的计算. (todo)

作为形的基本群

平展基本群是平展意象的形的基本群.

性质

与主丛的关系

设 $X$ 为连通概形, $G$ 为有限群, 则 $X$ 的 $G$-系数 $1$ 阶非 Abel 平展上同调等同于 $X$ 的平展基本群到 $G$ 的同态: $$ H^1(X_{\mathrm{\'et}},G) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{cts}}(\pi_1(X,\bar x),G). $$

例

设基环 $k$ 为特征 $0$ 代数闭域, $\mathbb G_m$ 的有限平展覆叠为 $(-)^n\colon \mathbb G_m \to\mathbb G_m$. 因此 $$ \pi_1^{\text{\'et}}(\mathbb G_m) = \operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/(n) = \widehat {\mathbb{Z}}. $$

构形空间 [构形空间]

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观念

构形空间在数学和物理上一般指的是某个系统的所有状态构成的空间. 在拓扑学中, 构形空间特指一个空间中的所有 (有序或无序的) 有限点集构成的空间.

定义

设 $X$ 为拓扑空间, $n$ 为正整数. 定义有序构形空间 $\operatorname{Conf}_n(X)$ 为 $X$ 中 $n$ 个互不相同的有序点的所有构形构成的空间: $$ \operatorname{Conf}_n(X) := \{ (x_1, \ldots, x_n) \in X^n \mid x_i \neq x_j \text{ for } i \neq j \}. $$

无序构形空间是有序构形空间在对称群 $S_n$ 作用下的商空间: $$ \operatorname{UConf}_n(X) := \operatorname{Conf}_n(X) / S_n. $$

性质

$\mathbb R^2$ 上 $n$ 个点的无序构形空间 $\operatorname{UConf}_n(\mathbb R^2)$ 的基本群是 $n$ 个生成元的辫群.

辫群 [辫群]

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观念

辫群是平面上若干个点的有序或无序构形的自同构群, 也即缠结范畴中的自同构群.

定义

对于自然数 $n$, 辫群 $\mathrm{Br}_n$ 是 $\mathbb R^2$ 上 $n$ 个点的无序构形空间的基本群.

性质

表现

辫群 $\mathrm{Br}_n$ 具有如下表现:

生成元 $s_i$ ($i=1,\cdots,n$),
关系 $s_is_js_i = s_js_is_j$ ($|i-j|=1$), $s_is_j=s_js_i$ ($|i-j|\geq 2$).

Artin 作用

由于平面去掉 $n$ 个点的基本群为自由群 $F_n$, 而辫群 $\mathrm{Br}_n$ 作用于这一空间, 故 $\mathrm{Br}_n$ 也作用于群 $F_n$, 这称为 Artin 作用. 通过生成元表现这一作用即

$s_i(x_i)=x_i x_{i+1} x_i^{-1}$,
$s_i(x_{i+1})=x_i$,
$s_i(x_j)=x_j$ ($j\neq i,i+1$).