Whitehead 塔 [Whitehead塔]
Whitehead 塔 [Whitehead塔]
定义
带基点生象 $*\to X$ 的 Whitehead 塔是对映射 $*\to X$ 作 ($n$-连通, $n$-截断) 分解所得的序列 $$ *\to \cdots \to Z_2 \to Z_1 \to Z_0 \to Z_{-1} \to Z_{-2} =X, $$ 满足
性质
纤维
记号如上. 映射 $Z_n\to Z_{n-1}$ 的纤维为 Eilenberg–MacLane 空间 $K(\pi_{n+1}(X),n)$.
一种显式构造
$Z_n$ 的一种显式构造为 $\mathbf{B}^{n+2}\Omega^{n+2}X$.
与截断的关系
$Z_n$ 是如下的拉回. $$ \begin{array} {ccc} Z_n & \to & *\\ \downarrow && \downarrow\\ X & \to & \tau_{\leq n+1} X. \end{array} $$ 换言之, $Z_n$ 是 $X$ 的万有 $(n+1)$-连通覆叠. 对任意 $(n+1)$-连通带基点生象 $Y$, 保基点映射 $Y\to X$ 唯一地穿过 $Z_n$, $$ \operatorname{Hom}_*(Y,X) \simeq \operatorname{Hom}_*(Y,Z_n). $$
例
$n=-1$:
- $Z_{-1}\to X$ 是基点处的连通分支. 任何带基点连通生象到 $X$ 的保基点映射唯一地穿过 $Z_{-1}$.
- $Z_{-1}X = \mathbf{B}\Omega X$.
- $Z_{-1}$ 同构于纤维 $\operatorname{fib}(X\to \pi_{0}X)$.
$n=0$:
- $Z_0 \to X$ 是万有覆叠. 任何带基点单连通生象到 $X$ 的映射唯一地穿过 $Z_0$.
- $Z_0 X = \mathbf{B}^2\Omega^2 X$.
- $Z_{0}$ 同构于纤维 $\operatorname{fib}(X \to \tau_{\leq 1}X)=\operatorname{fib}(X\to\mathbf{B}\pi_1(X))$.
- 纤维 $\operatorname{fib}(Z_0\to Z_{-1})$ 是基点处的基本群 $\pi_1(X,x_0)$.
正交群
正交群 $\mathrm{O}_n$ 的 Whitehead 塔为 $$ \cdots\to \text{String}_n \to \mathrm{Spin}_n \to \mathrm{SO}_n \to \mathrm{O}_n. $$